2北海道大学 2024年 数学 第2問解答・解説

1回の試行で得る点を $0,1,2,3$ とすると、それぞれの面の数は $5,1,1,1$ で、全ての面は同様に確からしい。したがって $n$ 回の全結果は $8^n$ 通りである。

(1) 持ち点が2以下となるのは、合計が0,1,2の場合である。

・ 合計0：全て0で、$5^n$ 通り。

・ 合計1：1が1回、残りが0で、$n5^{n-1}$ 通り。

・ 合計2：2が1回で残りが0のものが $n5^{n-1}$ 通り、または1が2回で残りが0のものが ${}_{n}\mathrm{C}_{2} 5^{n-2}$ 通り。

以上は互いに重ならないので、求める確率は
$$\frac{5^n+2n5^{n-1}+{}_{n}\mathrm{C}_{2} 5^{n-2}}{8^n}.$$

(2) 最初の4回の合計を $S$、続く2回の合計を $T$ とする。$S\geqq10$ なら0は出ておらず、各回の点は1,2,3である。並びの数を合計ごとに数えると
$$\begin{array}{c|c|c} S&\text{並びの形}&\text{並び数}\\ \hline 10&(3,3,3,1),\ (3,3,2,2)&4+6=10\\ 11&(3,3,3,2)&4\\ 12&(3,3,3,3)&1 \end{array}$$
なので、条件 $S\geqq10$ を満たす最初の4回の並びは合計15通り。

$S=10$ なら $T\leqq6$ のため合計17以上にならない。$S=11$ なら $T=6$ が必要で、続く2回が $(3,3)$ となる1通り。$S=12$ なら $T\geqq5$ が必要で、$(2,3),(3,2),(3,3)$ の3通りである。したがって、条件 $S\geqq10$ の下で合計が17以上となる続き方は、最初の4回の並びとの組として
$$4\cdot1+1\cdot3=7$$
通り。よって条件付き確率は
$$\frac{7/8^6}{15/8^4}=\frac{7}{15\cdot8^2}=\frac{7}{960}.$$