2浜松医科大学 2024年 数学 第2問解答・解説

(1)〜(3)では、各試合の勝敗が互いに独立で、各試合でAが勝つ確率が一定の $p$ であると仮定する。

(1) 先に3勝するまでなので、Aが勝つのは3、4、5試合目までのいずれかである。3試合で勝つ確率は $p^3$。4試合で勝つには最初の3試合で2勝1敗の後に勝つので $3p^3(1-p)$。5試合で勝つには最初の4試合が2勝2敗の後に勝つので $6p^3(1-p)^2$。従って
$$P(A\text{優勝})=p^3\{1+3(1-p)+6(1-p)^2\}.$$

(2) $p=3/4$ を代入すると $459/512=0.896484375$。小数第3位を四捨五入して小数第2位までにすると $0.90$。

(3) Aが第 $N+k$ 試合で先にN勝するには、最後がAの勝ちで、その前 $N+k-1$ 試合にAの勝ちが $N-1$ 回、Bの勝ちがk回必要である。$0\leqq k\leqq N-1$ だから
$$P(A\text{が先にN勝})=\sum_{k=0}^{N-1}{}_{N+k-1}\mathrm{C}_{N-1}p^N(1-p)^k.$$

(4) $m$ を正の整数とする。公平なコインを $2m+1$ 回投げると、表が $m+1$ 回以上出る確率は、表裏を入れ替える対応により $1/2$。この事象を「$(m+1)$回目の表が出る時点」で分ける。そこまでに裏がk回（$0\leqq k\leqq m$）出ているとき、最後の表より前の $m+k$ 回の並べ方は ${}_{m+k}\mathrm{C}_{k}$ 通りで、残りの $m-k$ 回は任意だから、該当する全結果数は ${}_{m+k}\mathrm{C}_{k}2^{m-k}$。従って
$$\frac12=\sum_{k=0}^{m}\frac{{}_{m+k}\mathrm{C}_{k}2^{m-k}}{2^{2m+1}} =\frac1{2^{m+1}}\sum_{k=0}^{m}\frac{{}_{m+k}\mathrm{C}_{k}}{2^k}.$$
よって後者の和（k=0を含む）は $2^m$。k=0の項は1なので、問題の和は $2^m-1$。