2福井大学 2022年 数学 第2問解答・解説

各移動で $x+y$ は1ずつ増えるので、6回後の点は常に $x+y=6$ 上にある。以下、$X$ を右向き移動、$Y$ を上向き移動と書く。$y=2$ に達した後は残りの移動がすべて $X$ となる。

(1) $(5,1)$ にいるには、6回のうちちょうど1回が $Y$ であればよい。このとき $y=2$ には達しないので、各順序の確率は $p^5(1-p)$。$Y$ の位置は6通りあるから
$$\boxed{6p^5(1-p)}.$$

(2) $(4,2)$ にいるには、6回のうち2回が $Y$ である必要がある。2回目の $Y$ が第 $j$ 回目（$j=2,3,4,5,6$）に起きるとする。最初の $j-1$ 回の中から1回目の $Y$ の位置を $j-1$ 通り選べる。その前後で2回目の $Y$ までに $X$ は合計 $j-2$ 回起き、それらは各確率 $p$、2回の $Y$ は各確率 $1-p$ である。2回目の $Y$ 以降は規則2で確率1の $X$ が続く。よって
$$\boxed{(1-p)^2\sum_{j=2}^{6}(j-1)p^{j-2}=(1-p)^2(1+2p+3p^2+4p^3+5p^4)}.$$

(3) $(3,1)$ を通過する時点はちょうど第4回後である（座標の和が4になる時点に限る）。そこに至るには、最初の4回で $Y$ が1回、$X$ が3回であり、その順序は4通りだから確率は $4p^3(1-p)$。そこから残り2回で $(4,2)$ に至るには、$YX$ または $XY$ の順序となる。前者の確率は $1-p$、後者は $p(1-p)$ なので、その合計は $(1-p)(1+p)$。したがって、$(3,1)$ を通過し、かつ $(4,2)$ に至る確率は
$$4p^3(1-p)\,(1-p)(1+p)=4p^3(1-p)^2(1+p).$$
(2)の確率は $0<p<1$ で正であるから、求める条件付き確率は
$$\boxed{\frac{4p^3(1+p)}{1+2p+3p^2+4p^3+5p^4}}.$$

6回後の位置条件を上向き移動回数に読み替え、2回目の上向き移動が起こる時点で場合分けして確率を合計する。条件付き確率では$(3,1)$を通る時点が第4回後と一意であることを使い、そこまでと残り2回の確率を掛ける。