(1) 点Pは半径2の円周上で偏角が
θ \theta θ であるから、
P = ( 2 cos θ , 2 sin θ ) , l = 2 θ . P=(2\cos\theta,2\sin\theta),\qquad l=2\theta. P = ( 2 cos θ , 2 sin θ ) , l = 2 θ . ∠ O P Q = π 2 \angle OPQ=\dfrac{\pi}{2} ∠ O P Q = 2 π より、
P Q → \overrightarrow{PQ} P Q は
O P → \overrightarrow{OP} O P に垂直である。長さ1の垂直な方向ベクトルは
± ( sin θ , − cos θ ) \pm(\sin\theta,\,-\cos\theta) ± ( sin θ , − cos θ ) なので、
Q = P ± 2 θ ( sin θ , − cos θ ) Q=P\pm2\theta(\sin\theta,-\cos\theta) Q = P ± 2 θ ( sin θ , − cos θ ) となる。複号の上では
x = 2 ( cos θ + θ sin θ ) x=2(\cos\theta+\theta\sin\theta) x = 2 ( cos θ + θ sin θ ) であり、
cos θ + θ sin θ − 1 \cos\theta+\theta\sin\theta-1 cos θ + θ sin θ − 1 は
θ = 0 \theta=0 θ = 0 で0、導関数が
θ cos θ ≧ 0 \theta\cos\theta\geqq0 θ cos θ ≧ 0 だから
x ≧ 2 x\geqq2 x ≧ 2 である。一方、複号の下では
θ > 0 \theta>0 θ > 0 のとき
cos θ − θ sin θ < 1 \cos\theta-\theta\sin\theta<1 cos θ − θ sin θ < 1 となり、
x < 2 x<2 x < 2 である。したがって条件に合うのは複号の上である。
θ = π 2 \theta=\frac{\pi}{2} θ = 2 π を代入すると、
D = ( π , 2 ) . D=(\pi,2). D = ( π , 2 ) . (2) 垂線の足は各点と同じx座標をもつから、
P = ( 2 cos θ , 2 sin θ ) , E = ( 2 cos θ , 0 ) , P=(2\cos\theta,2\sin\theta),\quad E=(2\cos\theta,0), P = ( 2 cos θ , 2 sin θ ) , E = ( 2 cos θ , 0 ) , Q = ( 2 cos θ + 2 θ sin θ , 2 sin θ − 2 θ cos θ ) , F = ( 2 cos θ + 2 θ sin θ , 0 ) . Q=(2\cos\theta+2\theta\sin\theta,2\sin\theta-2\theta\cos\theta),\quad F=(2\cos\theta+2\theta\sin\theta,0). Q = ( 2 cos θ + 2 θ sin θ , 2 sin θ − 2 θ cos θ ) , F = ( 2 cos θ + 2 θ sin θ , 0 ) . (3) 部分積分を用いると、
∫ 0 π / 2 θ sin 2 θ d θ = [ − θ 2 cos 2 θ ] 0 π / 2 + 1 2 ∫ 0 π / 2 cos 2 θ d θ = π 4 . \int_0^{\pi/2}\theta\sin2\theta\,d\theta=\left[-\frac{\theta}{2}\cos2\theta\right]_0^{\pi/2}+\frac12\int_0^{\pi/2}\cos2\theta\,d\theta=\frac{\pi}{4}. ∫ 0 π /2 θ sin 2 θ d θ = [ − 2 θ cos 2 θ ] 0 π /2 + 2 1 ∫ 0 π /2 cos 2 θ d θ = 4 π . また、
∫ 0 π / 2 θ 2 cos 2 θ d θ = [ θ 2 2 sin 2 θ ] 0 π / 2 − ∫ 0 π / 2 θ sin 2 θ d θ = − π 4 . \int_0^{\pi/2}\theta^2\cos2\theta\,d\theta=\left[\frac{\theta^2}{2}\sin2\theta\right]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\theta\sin2\theta\,d\theta=-\frac{\pi}{4}. ∫ 0 π /2 θ 2 cos 2 θ d θ = [ 2 θ 2 sin 2 θ ] 0 π /2 − ∫ 0 π /2 θ sin 2 θ d θ = − 4 π . (4) 曲線上で
x Q = 2 cos θ + 2 θ sin θ , y Q = 2 sin θ − 2 θ cos θ , y Q ′ = 2 θ sin θ ≧ 0. x_Q=2\cos\theta+2\theta\sin\theta,\qquad y_Q=2\sin\theta-2\theta\cos\theta,\qquad y_Q'=2\theta\sin\theta\geqq0. x Q = 2 cos θ + 2 θ sin θ , y Q = 2 sin θ − 2 θ cos θ , y Q ′ = 2 θ sin θ ≧ 0. 高さyで水平に切ると、円弧のx座標は
4 − y 2 \sqrt{4-y^2} 4 − y 2 、曲線のx座標は
x Q ( y ) x_{Q}(y) x Q ( y ) であり、領域の横幅は
x Q ( y ) − 4 − y 2 x_{Q}(y)-\sqrt{4-y^{2}} x Q ( y ) − 4 − y 2 である。したがって、yを
θ \theta θ で表して積分すると、円弧とy軸で囲まれる部分は半径2の四分円の面積
π \pi π なので、
S = ∫ 0 π / 2 x Q y Q ′ d θ − π . S=\int_0^{\pi/2}x_Qy_Q'\,d\theta-\pi. S = ∫ 0 π /2 x Q y Q ′ d θ − π . ここで、(3)の積分値を用いて
∫ 0 π / 2 x Q y Q ′ d θ = ∫ 0 π / 2 ( 2 cos θ + 2 θ sin θ ) ( 2 θ sin θ ) d θ = 2 ∫ 0 π / 2 θ sin 2 θ d θ + 2 ∫ 0 π / 2 θ 2 ( 1 − cos 2 θ ) d θ = π 2 + 2 ( π 3 24 + π 4 ) = π + π 3 12 . \begin{aligned}\int_0^{\pi/2}x_Qy_Q'\,d\theta&=\int_0^{\pi/2}(2\cos\theta+2\theta\sin\theta)(2\theta\sin\theta)\,d\theta\\&=2\int_0^{\pi/2}\theta\sin2\theta\,d\theta+2\int_0^{\pi/2}\theta^2(1-\cos2\theta)\,d\theta\\&=\frac{\pi}{2}+2\left(\frac{\pi^3}{24}+\frac{\pi}{4}\right)=\pi+\frac{\pi^3}{12}.\end{aligned} ∫ 0 π /2 x Q y Q ′ d θ = ∫ 0 π /2 ( 2 cos θ + 2 θ sin θ ) ( 2 θ sin θ ) d θ = 2 ∫ 0 π /2 θ sin 2 θ d θ + 2 ∫ 0 π /2 θ 2 ( 1 − cos 2 θ ) d θ = 2 π + 2 ( 24 π 3 + 4 π ) = π + 12 π 3 . ∫ 0 π /2 x Q y Q ′ d θ = ∫ 0 π /2 ( 2 cos θ + 2 θ sin θ ) ( 2 θ sin θ ) d θ = 2 ∫ 0 π /2 θ sin 2 θ d θ + 2 ∫ 0 π /2 θ 2 ( 1 − cos 2 θ ) d θ = 2 π + 2 ( 24 π 3 + 4 π ) = π + 12 π 3 . よって
S = π 3 12 . S=\frac{\pi^3}{12}. S = 12 π 3 . (5) 曲線の媒介変数表示を微分すると、
x Q ′ = 2 θ cos θ , y Q ′ = 2 θ sin θ . x_Q'=2\theta\cos\theta,\qquad y_Q'=2\theta\sin\theta. x Q ′ = 2 θ cos θ , y Q ′ = 2 θ sin θ . よって
L = ∫ 0 π / 2 ( x Q ′ ) 2 + ( y Q ′ ) 2 d θ = ∫ 0 π / 2 2 θ d θ = π 2 4 . L=\int_0^{\pi/2}\sqrt{(x_Q')^2+(y_Q')^2}\,d\theta=\int_0^{\pi/2}2\theta\,d\theta=\frac{\pi^2}{4}. L = ∫ 0 π /2 ( x Q ′ ) 2 + ( y Q ′ ) 2 d θ = ∫ 0 π /2 2 θ d θ = 4 π 2 . 
白衣のものさし
