3福井大学 2025年 数学 第3問解答・解説

$xy$面を直交座標$u=\dfrac{x+y}{\sqrt{2}}$、$v=\dfrac{x-y}{\sqrt{2}}$に回し、平面で分かれる小さい側を記述する。積分で体積と円柱側面部分を求め、切り口面積は投影図形の伸縮から求める。

平面 $\alpha$ は $z=0$ 上の直線 $x+y=0$ を含み、点 $(1,1,4)$ を通る。したがって、その方程式は
$$z=2(x+y)$$
である。$u=(x+y)/\sqrt2$、$v=(x-y)/\sqrt2$ とおく。この変換は $xy$ 平面内の回転なので、直円柱は
$$u^2+v^2\leqq2,\qquad 0\leqq z\leqq4$$
で表され、平面は $z=2\sqrt2u$ となる。高さ $z>0$ における切断線は $u=z/(2\sqrt2)>0$ であるから、小さい方の立体は切断線の $u$ が大きい側、すなわち $0\leqq z\leqq2\sqrt2u$ の部分である。この断面は高さごとに半円より小さくなるので、こちらが小さい側である。

(1) 固定した $u$ において、円柱内の $v$ の範囲は $-\sqrt{2-u^2}\leqq v\leqq\sqrt{2-u^2}$、立体の高さは $2\sqrt2u$ である。よって $0\leqq u\leqq\sqrt2$ で薄い柱に分けると
$$\begin{aligned} V&=\int_0^{\sqrt2}(2\sqrt2u)\,2\sqrt{2-u^2}\,du\\ &=4\sqrt2\left[-\frac13(2-u^2)^{3/2}\right]_0^{\sqrt2} =\frac{16}{3}. \end{aligned}$$$$V={\int }_0^{\sqrt{2}}(2\sqrt{2}u)2\sqrt{2-u^2}du$$$$=4\sqrt{2}{\left[-\frac{1}{3}(2-u^2{)}^{3/2}\right]}_0^{\sqrt{2}}=\frac{16}{3}.$$

(2) 平面 $\alpha$ 上の切り口を $uv$ 平面に正射影すると、半径 $\sqrt2$ の半円 $u\geqq0$ になり、その面積は $\pi$ である。平面上では、$u$ 方向の単位長さは高さの変化 $2\sqrt2$ を伴うため長さが $\sqrt{1+(2\sqrt2)^2}=3$ 倍になる一方、$v$ 方向の長さは変わらない。したがって投影面積は3倍され、切り口の面積は
$$3\cdot\frac12\pi(\sqrt2)^2=3\pi.$$

(3) 立体 $A$ の境界は、底面の半円、平面 $\alpha$ による切り口、および円柱の側面の一部からなる。上側の底面とは一点で接するだけなので、その面積は0である。底面の半円の面積は $\pi$、切り口は (2) より $3\pi$ である。

円柱側面上で $u=\sqrt2\cos\theta$、$v=\sqrt2\sin\theta$（$-\pi/2\leqq\theta\leqq\pi/2$）とおくと、側面上で $A$ に含まれる部分の高さは $z=2\sqrt2u=4\cos\theta$ である。円柱を側面に沿って展開したとき、弧の長さ要素は $ds=\sqrt2\,d\theta$ だから、この側面部分の面積は
$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}4\cos\theta\,\sqrt2\,d\theta=8\sqrt2.$$
以上より、表面積は
$$\pi+3\pi+8\sqrt2=4\pi+8\sqrt2.$$