4名古屋市立大学 2024年 数学 第4問解答・解説

共有点を正接で表し、領域を曲線の上下関係に従って分割して積分し、面積比を cosα−sinα について解く。

共有点では $p\sin x=q\cos x$ である。$x=\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}$ はこの等式を満たさないので、共有点では $\tan x=\frac{q}{p}>0$ となる。したがって $0\leqq x\leqq\pi$ では $0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$、$\pi\leqq x\leqq2\pi$ では $\pi<\beta<\frac{3\pi}{2}$ であり、正接の周期から $\beta=\pi+\alpha$ である。また $q=p\tan\alpha$。

$s=\sin\alpha,\ c=\cos\alpha$ とおく。$\alpha\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$ の範囲では $f(x)\geqq g(x)$ であり、$\frac{\pi}{2}\leqq x\leqq\pi$ の範囲では $f(x)\geqq0\geqq g(x)$ である。よって
$$\begin{aligned} S_1 &=\int_\alpha^{\pi/2}(p\sin x-q\cos x)\,dx +\int_{\pi/2}^{\pi}p\sin x\,dx\\ &=p c-q(1-s)+p =p(1+c)-p\frac{s}{c}(1-s) =\frac{p(1+c-s)}{c}. \end{aligned}$$$$S_1={\int }_{\alpha }^{\pi /2}(p\sin x-q\cos x)dx+{\int }_{\pi /2}^{\pi }p\sin xdx$$$$=pc-q(1-s)+p=p(1+c)-p\frac{s}{c}(1-s)=\frac{p(1+c-s)}{c}.$$
最後の等式では $q=p\tan\alpha=ps/c$ と $s^2+c^2=1$ を用いた。

次に $\dfrac{\pi}{2}\leqq x\leqq\pi$ の範囲では $g(x)\leqq0$、また $\pi\leqq x\leqq\beta$ の範囲では $f(x)\geqq g(x)$ である。後者は $x=\pi+t\ (0\leqq t\leqq\alpha)$ とおくと、$\tan t\leqq\tan\alpha=q/p$ より $p\sin t\leqq q\cos t$、すなわち $f(x)=-p\sin t\geqq-q\cos t=g(x)$ となることから分かる。従って
$$\begin{aligned} S_2 &=\int_{\pi/2}^{\pi}(-q\cos x)\,dx +\int_{\pi}^{\beta}(p\sin x-q\cos x)\,dx\\ &=q+\{p\cos\alpha+q\sin\alpha-p\}\\ &=p(c-1)+q(1+s) =p(c-1)+p\frac{s}{c}(1+s) =\frac{p(1-c+s)}{c}. \end{aligned}$$$$S_2={\int }_{\pi /2}^{\pi }(-q\cos x)dx+{\int }_{\pi }^{\beta }(p\sin x-q\cos x)dx$$$$=q+\{p\cos \alpha +q\sin \alpha -p\}$$$$=p(c-1)+q(1+s)=p(c-1)+p\frac{s}{c}(1+s)=\frac{p(1-c+s)}{c}.$$
ここでも $q=ps/c$ と $s^2+c^2=1$ を用いた。

$u=c-s$ とおくと、$-1<u<1$ であり、
$$\frac{S_1}{S_2} =\frac{1+c-s}{1-c+s} =\frac{1+u}{1-u} =\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}.$$
これを解くと
$$u=\frac{\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}-1} {\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}+1} =\frac{1}{\sqrt2}.$$
一方 $c-s=\sqrt2\cos(\alpha+\frac{\pi}{4})$ だから
$\cos(\alpha+\frac{\pi}{4})=\frac12$。範囲
$\frac{\pi}{4}<\alpha+\frac{\pi}{4}<\frac{3\pi}{4}$ より
$\alpha+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3}$、従って
$$\alpha=\frac{\pi}{12},\qquad \beta=\pi+\alpha=\frac{13\pi}{12}.$$
このとき $c-s=\frac1{\sqrt2}$ なので
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{1+1/\sqrt2}{1-1/\sqrt2} =\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}$ となり、与えられた比にも一致する。