4札幌医科大学 2025年 数学 第4問解答・解説

(1) $0\leqq x<\pi$ では $\cos\frac{x}{2}>0$ である。$u=\sin\frac{x}{2}$ とおくと
$$\sin x=2u\cos\frac{x}{2},\qquad \cos x=1-2u^2.$$
したがって
$$\frac{\sin 2x}{\cos\frac{x}{2}} =\frac{2\sin x\cos x}{\cos\frac{x}{2}} =4u(1-2u^2).$$

(2) $u=\sin\frac{x}{2}$ は $0\leqq x<\pi$ で $0\leqq u<1$ を一対一に動く。(1)より、$x<\pi$ での交点は
$$H(u)=a,\qquad H(u)=4u(1-2u^2)$$
に対応する。$H'(u)=4(1-6u^2)$ だから、$H$ は $0\leqq u\leqq1/\sqrt6$ で増加し、その後は減少する。正の値をとる範囲は $0<u<1/\sqrt2$ であり、$H(0)=H(1/\sqrt2)=0$。よって正の水平線 $y=a$ は、$0<a<H(1/\sqrt6)$ なら2点で、$a>H(1/\sqrt6)$ なら交わらず、$a=H(1/\sqrt6)$ のときに限り1点で接する。$(\pi,0)$ 以外の共有点がちょうど1点となる条件は
$$a=H\!\left(\frac1{\sqrt6}\right) =4\cdot\frac1{\sqrt6}\left(1-\frac{2}{6}\right) =\boxed{\frac{4\sqrt6}{9}}.$$

(3) 追加の共有点を $x=x_0$ とする。このとき $\sin\frac{x_0}{2}=1/\sqrt6$ であり、$x_0$ と $\pi$ が2曲線の共有点である。また、(2)の最大値評価から $H(u)\leqq a$ なので、$0\leqq x<\pi$ では
$$g(x)-f(x)=\cos\frac{x}{2}\{a-H(u)\}\geqq0.$$
従って囲まれた部分の面積は
$$S=\int_{x_0}^{\pi}\left(a\cos\frac{x}{2}-\sin2x\right)\,dx =\left[2a\sin\frac{x}{2}+\frac12\cos2x\right]_{x_0}^{\pi}.$$
$\sin\frac{x_0}{2}=1/\sqrt6$ より
$$\cos x_0=1-2\left(\frac1{\sqrt6}\right)^2=\frac23, \qquad \sin x_0=2\cdot\frac1{\sqrt6}\cdot\sqrt{1-\frac16}=\frac{\sqrt5}{3}, \qquad \cos2x_0=\cos^2x_0-\sin^2x_0=-\frac19.$$
これと $a=4\sqrt6/9$ を代入して
$$S=2a+\frac12-\left(\frac{2a}{\sqrt6}-\frac1{18}\right) =2a\left(1-\frac1{\sqrt6}\right)+\frac59 =\boxed{\frac{8\sqrt6-3}{9}}.$$