4筑波大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1)

$t=\tan^2x\geqq0$、$\cos^2x=\dfrac{1}{1+t}$ とすると共有点条件は
$$t^2+(1-a)t+4-a=0,\qquad D=(a+5)(a-3).$$
$0<a<3$ では実根がなく、$a=3$ では $(t-1)^2=0$ より $t=1$、すなわち $x=\pm\dfrac{\pi}{4}$ の2点。$3<a<4$ では根の和 $a-1>0$、積 $4-a>0$ から異なる2根はともに正で、それぞれについて、$\tan^2x=t$ を満たす $x$（$-\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{\pi}{2}$）は、$\tan\alpha=\sqrt t$ を満たす $\alpha$（$0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$）を用いて $x=\pm\alpha$ の2点となる。したがって条件に合うのは $a=3$ のみ。

(2)

$a=3$ では
$$C_1-C_2=4\cos^2x-(3-\tan^2x)=\dfrac{(\tan^2x-1)^2}{1+\tan^2x}\geqq0.$$
よって交点間の面積は
$$\displaystyle\int_{-\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{4}}(4\cos^2x-3+\tan^2x)\,dx =\left[\tan x+\sin2x-2x\right]_{-\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{4}} =4-\pi.$$