3東邦大学 2024年 数学 第3問解答・解説

平方根の値を自然数と置いて方程式を作り、nの偶奇を調べたうえで、平方差の因数分解と因数対の列挙で全候補を決める。

$m=\sqrt{n^2/4+104}$ とおき、$m$ は自然数であるとする。すると
$$4m^2=n^2+416.$$
左辺は4の倍数であり、416も4の倍数であるから、$n^2$ は4の倍数である。奇数の平方は4で割ると1余るので、$n$ は偶数である。そこで $n=2k$（$k$ は整数）とおくと
$$m^2-k^2=104, \qquad (m-k)(m+k)=104.$$
また $m^2=k^2+104$ より $m>|k|$ であるから、$m-k$ と $m+k$ はともに正の整数である。$n$ と $-n$ で式の値は同じなので、最大の $n$ を調べるには $k\geqq0$ としてよい。このとき $m-k\leqq m+k$。

104の正の因数対を小さい順に並べると
$$(1,104),\quad(2,52),\quad(4,26),\quad(8,13)$$
である。$m-k$ と $m+k$ は $m,k$ が整数であるため同じ偶奇である。よって両方が偶数となる因数対 $(2,52)$、$(4,26)$ だけが可能である。
$$(m-k,m+k)=(2,52)\ \text{ならば}\ (m,k)=(27,25),\quad n=50,$$
$$(m-k,m+k)=(4,26)\ \text{ならば}\ (m,k)=(15,11),\quad n=22.$$
実際、$n=50$ では $\sqrt{50^2/4+104}=\sqrt{729}=27$ となる。したがって条件を満たす整数は $n=\pm50,\pm22$ であり、最大のものは $\boxed{50}$。よって $\text{シ}=5$、$\text{ス}=0$。