5長崎大学 2024年 数学 第5問解答・解説

各小問について、ベクトルの成分条件、加法性と微分係数の定義、定積分の置換と区間分割、3で割った余りによる場合分けを順に用いた。

(1) ベクトルの成分から、垂直の条件は$$(\vec a-\vec b)\cdot\vec c=(1-q,p+1)\cdot(-1,1)=-(1-q)+(p+1)=p+q=0$$
である。したがって $p=-q$。また、$\vec b-\vec c=(q+1,-2)$ が $\vec a=(1,p)$ と平行なので、ある実数 $t$ を用いて $(q+1,-2)=t(1,p)$ と表せる。第1成分から $t=q+1$ であり、第2成分から $p(q+1)+2=0$。ここに $p=-q$ を代入すると $q^2+q-2=0$、すなわち $(q-1)(q+2)=0$ である。$q=1$ のとき $p=-1$ となり、$\vec a=\vec b$ で互いに異なるという条件に反する。$q=-2$ のとき $p=2$ であり、$\vec a=(1,2),\ \vec b=(-2,-1),\ \vec c=(-1,1)$ は互いに異なり、二つの条件を満たす。よって $p=2,\ q=-2$。

(2) $x=y=0$ とすると $f(0)=f(0)+f(0)$ だから $f(0)=0$。加法性から $f(x+h)-f(x)=f(h)$ であるため、$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f(h)}h=2.$$
よって $f(x)-2x$ の導関数は常に $0$ であるから、導関数の符号と増減の関係より $f(x)-2x$ は定数である。$f(0)=0$ を用いるとその定数は $0$ なので、$f(x)=2x$。

(3) $t=-x$ と置換すると、$$\begin{aligned} \int_{-1}^{0}\frac{x^{2}-x^{4}}{1+e^{x}}\,dx &=\int_{0}^{1}\frac{t^{2}-t^{4}}{1+e^{-t}}\,dt \\ &=\int_{0}^{1}\frac{e^{t}(t^{2}-t^{4})}{1+e^{t}}\,dt, \end{aligned}$$$${\int }_{-1}^0\frac{x^2-x^4}{1+e^x}dx={\int }_0^1\frac{t^2-t^4}{1+e^{-t}}dt$$$$={\int }_0^1\frac{e^t(t^2-t^4)}{1+e^t}dt,$$
となり、示すべき等式が得られる。さらに、負の区間の積分にこの等式を用いて正の区間の積分と合わせると、$$\begin{aligned} \int_{-1}^{1}\frac{x^{2}-x^{4}}{1+e^{x}}\,dx &=\int_{0}^{1}(x^{2}-x^{4})\left(\frac{e^{x}}{1+e^{x}}+\frac{1}{1+e^{x}}\right)dx \\ &=\int_{0}^{1}(x^{2}-x^{4})\,dx =\left[\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{1}=\frac{2}{15}. \end{aligned}$$$${\int }_{-1}^1\frac{x^2-x^4}{1+e^x}dx={\int }_0^1(x^2-x^4)\left(\frac{e^x}{1+e^x}+\frac{1}{1+e^x}\right)dx$$$$={\int }_0^1(x^2-x^4)dx={\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}\right]}_0^1=\frac{2}{15}.$$

(4) $n=3k$ のとき $n^{2}=3(3k^{2})$ で余りは $0$。$n=3k+1$ のとき $n^{2}=3(3k^{2}+2k)+1$ で余りは $1$。$n=3k+2$ のとき $n^{2}=3(3k^{2}+4k+1)+1$ で余りは $1$。したがって、どの場合も余りは $2$ にならない。
次に、背理法で示す。$l,m$ のどちらも3の倍数でないと仮定する。整数の余りによる分類から、$l,m$ はそれぞれ $3a+1$ または $3a+2$ と書けるので、前半で示したことから $l^{2},m^{2}$ はともに3で割ると余りが1である。よって $l^{2}+m^{2}$ は3で割ると余りが2となる。一方、$l^{2}+m^{2}=n^{2}$ であるから、$n^{2}$ も余り2となるが、これは前半の結果に反する。ゆえに、$l,m$ の少なくとも一方は3の倍数である。