1京都府立医科大学 2025年 数学 第1問解答・解説

(1) $m^2$ を $5$ で割った余りは $0,1,4$ のいずれかである。したがって
$$2m^2+19\equiv 2m^2+4\equiv 4,1,2\pmod 5$$
のいずれかとなり、余りは $0$ にならない。よって $2m^2+19$ は $5$ の倍数ではない。

(2) 左辺を展開すると
$$(2m^2+19)(7n+5)=14m^2n+10m^2+133n+95.$$
等式 $(E)$ を用いれば、これは $70k+45+95=70(k+2)$ に等しい。よって $70$ の倍数である。

(3) (2)の恒等式より、$(E)$ を満たすことと
$$(2m^2+19)(7n+5)=70(k+2)$$
とは同値である。積が $70$ の倍数である。 (1)より $2m^2+19$ は $5$ の倍数でないから、$7n+5$ は $5$ の倍数である。よって $n\equiv0\pmod5$。また $2m^2+19$ は奇数なので、積が偶数となるには $7n+5$ が偶数でなければならず、$n$ は奇数である。したがって $n=10r+5$（$r$ は $0$ 以上の整数）と書ける。

さらに $7n+5\equiv5\pmod7$ なのでこれは $7$ の倍数ではない。ゆえに $2m^2+19$ が $7$ の倍数であり、
$$2m^2+19\equiv 2m^2+5\equiv0\pmod7$$
から $m^2\equiv1\pmod7$、すなわち $m\equiv\pm1\pmod7$ である。

$k\leqq50$ より積は $70(k+2)\leqq3640$。一方 $n\geqq5$ だから $7n+5\geqq40$ であり、$2m^2+19\geqq21$ である。よって $2m^2+19\leqq3640/40=91$、したがって $m\leqq6$。条件 $m\equiv\pm1\pmod7$ を満たす正の整数は $m=1,6$ だけである。

$n=10r+5$ とすると $7n+5=70r+40=10(7r+4)$ である。$m=1$ のとき
$$k+2=\frac{21\cdot10(7r+4)}{70}=21r+12,$$
したがって $k=21r+10$。条件 $k\leqq50$ より $r=0,1$ で、$(n,k)=(5,10),(15,31)$。$m=6$ のとき
$$k+2=\frac{91\cdot10(7r+4)}{70}=91r+52,$$
ゆえに $k=91r+50$ となり、$k\leqq50$ から $r=0$ のみである。このとき $(n,k)=(5,50)$。以上より、(m,n,k) の組は (1,5,10)、(1,15,31)、(6,5,50) の 3 組であり、いずれも積が $70(k+2)$ となるため (E) を満たす。