6東邦大学 2024年 数学 第6問解答・解説

円盤を平方完成で求め、まず中心が領域D2に入る範囲を出す。D2の右側のくさびの二辺までの距離が円の半径以上となる条件を調べる。

まず、$\mathrm{D}_1$ を平方完成する。
$$\begin{aligned} x^2-2kx+y^2-4(k-3)y+5k^2-24k+34 &=(x-k)^2+(y-2k+6)^2-2. \end{aligned}$$
したがって $\mathrm{D}_1$ は、中心 $C=(k,2k-6)$、半径 $\sqrt2$ の円の内部および周上である。中心の座標を $(x_C,y_C)$ と書けば $x_C=k$、$y_C=2k-6=2x_C-6$ だから、中心は直線 $y=-6+2x$ 上にある。よって $(キク)=-6$、$(ケ)=2$。

$\mathrm{D}_2$ は $y^2\leqq x^2$、すなわち $-x\leqq y\leqq x$（$x\geqq0$ のとき）または $x\leqq y\leqq -x$（$x\leqq0$ のとき）である。円盤 $\mathrm{D}_1$ が $\mathrm{D}_2$ に含まれるなら、特に中心 $C$ が $\mathrm{D}_2$ に含まれる必要がある。よって
$$k^2-(2k-6)^2\geqq0 \quad\text{すなわち}\quad (k-2)(k-6)\leqq0 \quad\text{すなわち}\quad 2\leqq k\leqq6.$$
この範囲では中心の $x$ 座標が正であり、中心は右側のくさび $-x\leqq y\leqq x$ にある。従って、円盤全体がこのくさび内にあるための必要十分条件は、中心から境界直線 $y=x$、$y=-x$ までの距離がいずれも半径 $\sqrt2$ 以上であること。

中心 $(k,2k-6)$ からこれらの直線までの距離は、それぞれ
$$\frac{|(2k-6)-k|}{\sqrt2}=\frac{6-k}{\sqrt2}, \qquad \frac{|(2k-6)+k|}{\sqrt2}=\frac{3k-6}{\sqrt2}$$
である（ここでは $2\leqq k\leqq6$ を用いた）。両方が $\sqrt2$ 以上となる条件は
$$6-k\geqq2,\qquad 3k-6\geqq2,$$
すなわち $k\leqq4$、$k\geqq\frac83$ である。この条件は必要でも十分でもあり、等号の場合も境界上の円周が $\mathrm{D}_2$ に含まれる。したがって求める範囲は
$$\frac83\leqq k\leqq4.$$
よって $(コ)=8$、$(サ)=3$、$(シ)=4$。