3東京慈恵会医科大学 2025年 数学 第3問解答・解説

円周上での二次式を平方完成して最大半径を決定し、素数の範囲を絞って有限場合分けする。

(1) 円上の点について $u=x-p$ とおくと、$y^2=r-u^2$ である。よって
$$\begin{aligned} x^2-py^2 &=(p+u)^2-p(r-u^2)\\ &=(p+1)u^2+2pu+p^2-pr\\ &=(p+1)\left(u+\frac{p}{p+1}\right)^2+\frac{p^3}{p+1}-pr. \end{aligned}$$$$x^2-p{y}^2=(p+u{)}^2-p(r-u^2)$$$$=(p+1)u^2+2pu+p^2-pr$$$$=(p+1){\left(u+\frac{p}{p+1}\right)}^2+\frac{p^3}{p+1}-pr.$$
$r=p-1$ のとき、平方の項は0以上であり、
$$x^2-py^2\geqq\frac{p^3}{p+1}-p(p-1)=\frac{p}{p+1}>-1.$$
したがって、この円は領域 $D$ に含まれる。

一方、自然数 $r\geqq p$ に対して $u=-p/(p+1)$ とすれば、$u^2<1\leqq r$ なので $y=\sqrt{r-u^2}$ は実数であり、円上の点 $(x,y)=(p+u,y)$ が存在する。その点では平方の項が0となり、
$$x^2-py^2=\frac{p^3}{p+1}-pr\leqq\frac{p^3}{p+1}-p^2=-\frac{p^2}{p+1}<-1\qquad(p^2>p+1\text{ は }p\geqq2\text{ より成り立つ}).$$
したがって $r\geqq p$ の円は $D$ に含まれない。よって最大の自然数は $r=p-1$ である。

(2) (1)より
$$(x-p)^2+y^2=p-1,$$
すなわち、$d=x-p$ とおくと
$$p=d^2+y^2+1.$$
$x,p$ は異なる素数なので $d\neq0$ である。$p<41$ と仮定すると $y^2<p\leqq40$ だから、素数 $y$ は $2,3,5$ のいずれかである。それぞれの場合、$p=d^2+y^2+1<41$ を満たす $|d|$ と $p$ は次のとおり。
$$\begin{array}{c|c|c} y&|d|&p\\ \hline 2&1,2,3,4,5&6,9,14,21,30\\ 3&1,2,3,4,5&11,14,19,26,35\\ 5&1,2,3&27,30,35 \end{array}$$
表のうち素数となり得るのは、$y=3, |d|=1, p=11$ または $y=3, |d|=3, p=19$ だけである。しかし、前者では $x=p+d=10,12$、後者では $x=p+d=16,22$ となり、いずれも素数ではない。従って $p<41$ は不可能である。

$p=41, y=2, d=6$ とすると $x=p+d=47$ は素数であり、
$$(47-41)^2+2^2=6^2+2^2=40=41-1$$
を満たす。$47,2,41$ は互いに異なる素数なので、求める組は $(x,y,p)=(47,2,41)$ である。