2東邦大学 2024年 数学 第2問解答・解説

各位置の対称性で3回目が青玉となる確率を求める。条件付き確率は、指定条件を満たす順序つきの並びを列挙して同時確率を計算し、3回目が青玉となる確率で割る。

(カ) 1個の青玉が3回のうちどの位置に出るかは対称であり、10個の玉のうち青玉は3個である。したがって、3回目の玉が青玉である確率は
$$\frac{3}{10}.$$
よって $\text{カ}=3$、$\text{キ}=1$、$\text{ク}=0$。

(ケ) 事象 $A$ を「3回目が青玉」、事象 $B$ を「1回目と2回目に青玉と白玉が1個ずつ出る」とする。$B$ かつ $A$ となる並びは、白・青・青または青・白・青の2通りである。どちらの確率も、玉を戻さないことに注意すると
$$\frac{7}{10}\cdot\frac{3}{9}\cdot\frac{2}{8}=\frac{7}{120}, \qquad \frac{3}{10}\cdot\frac{7}{9}\cdot\frac{2}{8}=\frac{7}{120}.$$
よって $P(A\cap B)=7/120+7/120=7/60$。したがって条件付き確率は
$$P_{A}(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} =\frac{7/60}{3/10}=\frac{7}{18}.$$
よって $\text{ケ}=7$、$\text{コ}=1$、$\text{サ}=8$。検算として、分母の事象 $A$ は確率 $3/10$ で正であり、条件付き確率 $7/18$ は0と1の間にある。