1東邦大学 2024年 数学 第1問解答・解説

根号の分数を有理化して$a,b$を簡単な共役な数に直し、和・積で二乗和を計算する。5乗和は二項定理で展開し、根号の奇数乗を相殺する。

分子・分母を $\sqrt2$ で割ると
$$a=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1} =\frac{(\sqrt3-1)^2}{3-1}=2-\sqrt3, \qquad b=\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1} =\frac{(\sqrt3+1)^2}{3-1}=2+\sqrt3.$$
したがって $a+b=4$、$ab=(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)=1$ であり、
$$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4^2-2=14.$$
よって $\text{アイ}=14$。

次に、二項定理で $(2-\sqrt3)^5$ と $(2+\sqrt3)^5$ を展開して加えると、$\sqrt3$ の奇数乗を含む項が打ち消し合う。残る偶数乗の項は
$$\begin{aligned} a^5+b^5 &=(2-\sqrt3)^5+(2+\sqrt3)^5\\ &=2\left(2^5+{}_{5}\mathrm{C}_{2}\,2^3(\sqrt3)^2+{}_{5}\mathrm{C}_{4}\,2(\sqrt3)^4\right)\\ &=2(32+10\cdot8\cdot3+5\cdot2\cdot9)\\ &=2(32+240+90)=724. \end{aligned}$$$$a^5+b^5=(2-\sqrt{3}{)}^5+(2+\sqrt{3}{)}^5$$$$=2\left(2^5+{}_5{\mathrm{C}}_2{2}^3(\sqrt{3}{)}^2+{}_5{\mathrm{C}}_{4}2(\sqrt{3}{)}^4\right)$$$$=2(32+10\cdot 8\cdot 3+5\cdot 2\cdot 9)$$$$=2(32+240+90)=724.$$
よって $\text{ウエオ}=724$。検算として、$a,b$ は和が4、積が1なので、ともに $t^2-4t+1=0$ の解である。この関係から $s_k=a^k+b^k$ は $s_k=4s_{k-1}-s_{k-2}$ を満たし、$s_0=2,s_1=4$ より $s_2=14,s_3=52,s_4=194,s_5=724$ となり、二項展開と一致する。