3大阪公立大学 2025年 数学 第3問解答・解説

大阪公立大学 2025年度 数学 第3問

$d_2$ は $N$ の最小の正の約数のうち1より大きいものなので、素数である。実際、もし合成数なら、その素因数も $N$ の1より大きく $d_2$ より小さい約数となり、最小性に反する。

(1)

$x=a-2$、$y=b-2$、$z=c+2$ とおくと、条件は正整数について
$$x<y,\qquad z>y+4,\qquad xyz=2^6$$
となる。積が2のべきなので $x=2^r,y=2^s,z=2^u$（$r,s,u$ は0以上の整数）と書け、$r<s$、$r+s+u=6$ である。

- $r=0$ のとき、$s=1,2,3,4,5$ を調べると、$(s,u)=(1,5),(2,4)$ の場合だけ $2^u>2^s+4$ を満たす。これらは $(x,y,z)=(1,2,32),(1,4,16)$。$s=3$ では $8\not>12$、$s\geqq4$ では $u<s$ なので条件を満たさない。
- $r=1$ のとき $s\geqq2$、$u=5-s$。$s=2$ では $2^u=8=2^s+4$ となり、$s\geqq3$ では $2^u\leqq4<2^s+4$。いずれも不可。
- $r\geqq2$ のとき $s\geqq3$、$u=6-r-s\leqq1$ なので $2^u\leqq2<2^s+4$。不可。

従って $(a,b,c)=(x+2,y+2,z-2)$ は
$$\boxed{(3,4,30),\quad(3,6,14)}$$
の2組である。

(2)

背理法で $d_2=2$ とする。与えられた条件は
$$(d_3-2)(d_4-2)(d_5+2)=64$$
であり、$2<d_3<d_4<d_5$ だから問1より
$$(d_3,d_4,d_5)=(3,4,30)\quad\text{または}\quad(3,6,14).$$
前者なら $N$ は $2,3$ で割り切れることから $N$ は $6$ で割り切れる。ところが $4<6<30=d_5$ なので、6は第5番目の約数より前に現れ、矛盾する。後者なら $N$ は $14$ で割り切れることから $N$ は $7$ で割り切れるが、$6=d_4<7<14=d_5$ となり、やはり矛盾する。従って
$$\boxed{d_2\ne2}.$$

(3)

問2より素数 $p=d_2$ は奇数であり、$N$ も奇数である。よって全ての約数 $d_i$ は奇数。そこで
$$x=\frac{d_3-p}{2},\qquad y=\frac{d_4-p}{2},\qquad z=\frac{d_5+p}{2}$$
とおくと、$x,y,z$ は正整数で、$d_3<d_4<d_5$ と $p>0$ から $x<y<z$。与えられた積の条件を8で割ると
$$xyz=p^3.$$
$p$ は素数なので、$x,y,z$ はそれぞれ $p$ の0以上の整数乗である。指数を小さい順に並べると、3個の相異なる非負整数の和が3となるので、指数は $0,1,2$。従って $x=1,y=p,z=p^2$、特に
$$d_4=p+2y=3p.$$
$N$ は $d_4$ で割り切れるから $N$ は $3$ で割り切れる。もし $p>3$ なら、3は $1<3<p=d_2$ を満たす $N$ の約数となり、$d_2$ の最小性に反する。奇素数 $p$ は3以上なので
$$\boxed{d_2=p=3}.$$

(4)

問3で得た $x=1,y=p,z=p^2$ に $p=3$ を代入すると
$$d_3=p+2x=5,\qquad d_4=p+2y=9, \qquad d_5+p=2z=18.$$
従って
$$\boxed{d_3=5,\quad d_4=9,\quad d_5=15}.$$