8東邦大学 2024年 数学 第8問解答・解説

媒介変数から各xに対応するtを用いて方程式を解く。曲線部分の長さは媒介変数による弧長積分で求める。

媒介変数 $t\geqq1$ に対し $x=\frac12(t+t^{-1})$、$y=\log t$ である。$t+t^{-1}=2x$ を満たす $t\geqq1$ は一つに定まり、そのとき $f(x)=\log t$ となる。

まず $x=5$ に対応する媒介変数を $t_5$ とすると、$t_5+t_5^{-1}=10$。方程式 $f(x)=2f(5)$ は
$$\log t=2\log t_5=\log(t_5^2)$$
となるので、対数関数の一対一性から $t=t_5^2$。従って
$$2x=t_5^2+t_5^{-2}=(t_5+t_5^{-1})^2-2=10^2-2=98, \qquad x=49.$$
$t_5^2\geqq1$ なのでこれは与えられた媒介変数の範囲に入り、実際に方程式の解である。よって $(アイ)=49$。

次に、$x=2,7$ に対応する媒介変数をそれぞれ $t_2,t_7$ とする。$t\geqq1$ を使って二次方程式を解くと
$$t_2=2+\sqrt3,\qquad t_7=7+\sqrt{48}=7+4\sqrt3.$$
$x(t)$ は $t>1$ で増加するので、この曲線部分の長さは
$$\begin{aligned} L&=\int_{t_2}^{t_7}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt\\ &=\int_{t_2}^{t_7}\sqrt{\frac14\left(1-\frac1{t^2}\right)^2+\frac1{t^2}}\,dt\\ &=\frac12\int_{t_2}^{t_7}\left(1+\frac1{t^2}\right)dt\\ &=\frac12\left[t-\frac1t\right]_{t_2}^{t_7}. \end{aligned}$$$$L={\int }_{t_2}^{t_7}\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt$$$$={\int }_{t_2}^{t_7}\sqrt{\frac{1}{4}{\left(1-\frac{1}{t^2}\right)}^2+\frac{1}{t^2}}dt$$$$=\frac{1}{2}{\int }_{t_2}^{t_7}\left(1+\frac{1}{t^2}\right)dt$$$$=\frac{1}{2}{\left[t-\frac{1}{t}\right]}_{t_2}^{t_7}.$$
ここで $t\geqq1$ なので $t-t^{-1}=\sqrt{(t+t^{-1})^2-4}=2\sqrt{x^2-1}$。従って
$$L=\sqrt{7^2-1}-\sqrt{2^2-1}=4\sqrt3-\sqrt3=3\sqrt3.$$
よって $(ウ)=3$、$(エ)=3$。根号内の $3$ は平方因子をもたない。