3東京慈恵会医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

第 1 象限に点 $\mathrm{P}(\sqrt{2}\,r,\,\sqrt{3}\,s)$ が属するので、$r,\,s$ は正の有理数である。距離の公式より
$$\mathrm{OP}=\sqrt{2r^{2}+3s^{2}}.$$
これが有理数であると仮定し、$\mathrm{OP}=\ell$ とおく。$r,\,s,\,\ell$ の分母の公倍数を $m$ とすれば、
$$p=mr,\qquad q=ms,\qquad k=m\ell$$
は正の整数で、
$$k^{2}=2p^{2}+3q^{2}$$
を満たす。共通因数があれば $p,\,q,\,k$ をその因数で割ってもこの等式は保たれるから、$p,\,q,\,k$ の最大公約数が 1 であるとしてよい。

この等式を 3 で割った余りで考える。もし $p$ が 3 で割り切れないなら $p^{2}\equiv1\pmod 3$ なので、
$$k^{2}\equiv2p^{2}\equiv2\pmod 3$$
となる。しかし平方数を 3 で割った余りは 0 または 1 であり矛盾する。よって $p$ は 3 で割り切れる。元の等式から $k^{2}$ は 3 で割り切れるので、$k$ も 3 で割り切れる。$p=3p_{1}$、$k=3k_{1}$ とおいて等式に代入し、3 で割ると
$$3k_{1}^{2}=6p_{1}^{2}+q^{2}.$$
これを 3 で見れば $q^{2}\equiv0\pmod 3$ なので、$q$ は 3 で割り切れる。すると $p,\,q,\,k$ がすべて 3 の倍数となり、最大公約数が 1 であることに反する。

仮定が誤りであるから、$\mathrm{OP}$ は無理数である。