4東邦大学 2024年 数学 第4問解答・解説

(1) $y=\dfrac{3x}{2x+a}$ を $x$ について解く。$y(2x+a)=3x$ より $2xy-3x=-ay$、すなわち $x(2y-3)=-ay$ となる。$2y-3\neq 0$ のとき
$$x=\dfrac{ay}{3-2y}$$
であるから、$f(x)$ の逆関数は $f^{-1}(x)=\dfrac{ax}{3-2x}$ である。

$f(x)$ と $f^{-1}(x)$ が一致するとき、$\dfrac{ax}{3-2x}=\dfrac{3x}{2x+a}$ がすべての $x$ について成り立つ。両辺に $(3-2x)(2x+a)$ をかけると、$ax(2x+a)=3x(3-2x)$ となり、整理すると
$$2a\,x^{2}+a^{2}x=-6x^{2}+9x$$
である。両辺の係数を比べると、$x^{2}$ の係数から $2a=-6$ より $a=-3$、$x$ の係数から $a^{2}=9$ である。$a=-3$ はこの 2 つを両方満たす。逆に $a=-3$ のとき $f(x)=\dfrac{3x}{2x-3}$ であり、$f^{-1}(x)=\dfrac{-3x}{3-2x}=\dfrac{3x}{2x-3}$ で一致する。よって $a=-3$。

(2) $g(f(x))$ を求める。$f(x)+9=\dfrac{3x+9(2x+a)}{2x+a}=\dfrac{21x+9a}{2x+a}$ であるから
$$g(f(x))=\dfrac{2f(x)}{f(x)+9}=\dfrac{\dfrac{6x}{2x+a}}{\dfrac{21x+9a}{2x+a}}=\dfrac{6x}{21x+9a}=\dfrac{2x}{7x+3a}$$
となる。

次に $f(g(x))$ を求める。$2g(x)+a=\dfrac{4x+a(x+9)}{x+9}=\dfrac{(a+4)x+9a}{x+9}$ であるから
$$f(g(x))=\dfrac{3g(x)}{2g(x)+a}=\dfrac{\dfrac{6x}{x+9}}{\dfrac{(a+4)x+9a}{x+9}}=\dfrac{6x}{(a+4)x+9a}$$
となる。

$g(f(x))=f(g(x))$ は $\dfrac{2x}{7x+3a}=\dfrac{6x}{(a+4)x+9a}$ と同じである。分母を払うと $2\{(a+4)x+9a\}=6(7x+3a)$ となり、$2(a+4)x+18a=42x+18a$ である。定数項は一致するので、$x$ の係数を比べて $2(a+4)=42$ より $a=17$ である。このとき両辺はともに $\dfrac{2x}{7x+51}$ になり、一致する。よって $a=17$。