5東邦大学 2024年 数学 第5問解答・解説

各微分で多項式部分が$P_{n+1}=P_{n}'+P_{n}$と変化することを使い、係数の漸化式から数列と極限を求める。

$P_0(x)=1-2x+3x^2-4x^3$ とし、$f^{(n)}(x)=P_n(x)e^x$ とおく。$P_0$ は $n=0$ に対応する初期の多項式である。$P_n(x)=a_n+b_nx+c_nx^2+d_nx^3$ とすると、積の微分法から
$$f^{(n+1)}(x)=\bigl(P_n'(x)+P_n(x)\bigr)e^x$$
である。よって係数を比較すると
$$\begin{aligned} a_{n+1}&=a_n+b_n,\\ b_{n+1}&=b_n+2c_n,\\ c_{n+1}&=c_n+3d_n,\\ d_{n+1}&=d_n. \end{aligned}$$$$a_{n+1}=a_n+b_n,$$$$b_{n+1}=b_n+2c_n,$$$$c_{n+1}=c_n+3d_n,$$$$d_{n+1}=d_n.$$
初期値は $(a_0,b_0,c_0,d_0)=(1,-2,3,-4)$ である。

まず $d_{n+1}=d_n$ より、全ての $n$ で $d_n=-4$。したがって
$$c_{n+1}=c_n-12,\qquad c_0=3,$$
となり、$c_n=3-12n$。よって $\{c_n\}$ は公差 $-12$ の等差数列であり、$(アイウ)=-12$。

次に
$$b_{n+1}=b_n+2c_n=b_n+6-24n$$
なので、$b_0=-2$ から
$$\begin{aligned} b_n&=-2+\sum_{k=0}^{n-1}(6-24k)\\ &=-2+6n-24\cdot\frac{(n-1)n}{2}\\ &=-12n^2+18n-2. \end{aligned}$$$$b_n=-2+\sum _{k=0}^{n-1}(6-24k)$$$$=-2+6n-24\cdot \frac{(n-1)n}{2}$$$$=-12n^2+18n-2.$$
ゆえに
$$\frac{b_n}{n^2}=-12+\frac{18}{n}-\frac{2}{n^2}\longrightarrow -12\qquad(n\to\infty),$$
したがって $(エオカ)=-12$。検算として $n=1$ では $P_1=P_0'+P_0$ の $x^2$ 係数は $-9$、$x$ 係数は $4$ であり、公式 $c_1=3-12=-9$、$b_1=-12+18-2=4$ と一致する。