4大阪公立大学 2024年 数学 第4問解答・解説

$q=ap$、$q$を消去して、$p$を$a$で表す方針で解く。既約分数表示では整数$P$、$N$を導入し、互いに素な数についての整数の性質（互除法による$uP+vk=1$となる整数$u,\,v$の存在）を用いる。最後は整数の恒等式から、固定された数$121$の倍数の条件を得る。

$q=ap$を最初の式に代入すると
$$(5-a^{2})p^{2}+(2-5a)p=0,$$
すなわち$p\bigl((5-a^{2})p+2-5a\bigr)=0$となる。$pq\ne0$より$p\ne0$だから
$$(5-a^{2})p=5a-2.$$
問1では$a\ne\pm\sqrt{5}$より$5-a^{2}\ne0$なので
$$p=\dfrac{5a-2}{5-a^{2}},\qquad q=ap=\dfrac{a(5a-2)}{5-a^{2}}.$$
実際に条件を満たす$p,\,q$が存在するためには、さらに$a\ne0$（$q\ne0$のため）および$a\ne\dfrac{2}{5}$（$p\ne0$のため）が必要である。

問2では$a=\dfrac{m}{k}$を既約分数とし、$P=5k^{2}-m^{2}$、$N=5m-2k$とおく。$a$は有理数なので$a^{2}\ne5$であり、したがって$P\ne0$である。問1の式から
$$p=\dfrac{kN}{P},\qquad q=\dfrac{mN}{P}.$$

(1)

$N$が$P$の倍数であるとし、$N=dP$（$d$は整数）とおけば、$p=kd$、$q=md$となるので、$p$と$q$はともに整数である。

(2)

$p$が整数なら$kN$は$P$で割り切れる。また、$m$と$k$は互いに素なので、$P$と$k$の最大公約数は、$P=5k^{2}-m^{2}$より$m^{2}$と$k$の最大公約数に等しく、それは1である。
よって互除法により、ある整数$u,\,v$が存在して$uP+vk=1$となる。これに$N$をかけると$N=uPN+vkN$であり、右辺の各項は$P$の倍数である。したがって$N$は$P$で割り切れる。

(3)

(2)より$N$は$P$で割り切れる。次の恒等式を用いる。
$$25P=121k^{2}-4kN-N^{2}.$$
右辺の第2項と第3項は$P$の倍数であり、左辺も$P$の倍数だから、$121k^{2}$は$P$で割り切れる。さらに$P$と$k$は互いに素なので、$uP+vk^{2}=1$となる整数$u,\,v$が存在する。この式に121をかけると、$121=121uP+121vk^{2}$であり、右辺は$P$の倍数である。よって$121$は$P$で割り切れる。すなわち$121$は$5k^{2}-m^{2}$の倍数である。