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東邦大学／2022年度／一般

3東邦大学 2022年数学第3問解答・解説

積分法

1問題

東邦大学2022年度第3問

3.

0\leqq x\leqq 1

で定義された関数

f(x)

は

f(x)=x\sqrt{1-x}+x^{2}\int_{0}^{1}f(t)\,dt

を満たす。このとき、

\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x}\,dx =\frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}\boxed{\text{ス}}}

となるから、

\int_{0}^{1}f(t)\,dt =\frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}

である。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

東邦大学 2022年度第3問

まず

\begin{aligned} J=\int_0^1x\sqrt{1-x}\,dx &=\int_0^1(1-u)\sqrt u\,du\qquad(u=1-x)\\ &=\left[\frac23u^{3/2}-\frac25u^{5/2}\right]_0^1 =\frac23-\frac25=\frac4{15}. \end{aligned}

J = \int_{0}^{1} x 1 - x d x = \int_{0}^{1} (1 - u) u d u (u = 1 - x) = [\frac{2}{3} u^{3/2} - \frac{2}{5} u^{5/2}]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{2}{5} = \frac{4}{15} .

従って

\text{サ}=4,\ \text{シス}=15

。

次に

I=\int_0^1 f(t)\,dt

とおく。問題の関係式を

x

について

0

から

1

まで積分すると

I=\int_0^1x\sqrt{1-x}\,dx+I\int_0^1x^2\,dx =\frac4{15}+\frac13I.

ゆえに

\frac23I=\frac4{15}

、従って

I=\frac25

。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

置換積分法
不定積分・定積分の性質

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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