1東京医科大学 2022年 数学 第1問解答・解説

(1)　 楕円上の点を媒介変数で
$$P(t)=(2\sqrt2\cos t,\sqrt3\sin t)$$
と表す。点 $P(a,b)$ に対応する $t$ をとると、接線の方向ベクトルは
$$P'(t)=(-2\sqrt2\sin t,\sqrt3\cos t)$$
である。また
$$(-8b,3a)=2\sqrt6\,P'(t)$$
だから、$(-8b,3a)$ も接線方向ベクトルである。よって法線方向ベクトルはこれに垂直な $(3a,8b)$ である。点 $(x,y)$ が法線上にある条件は、$(x-a,y-b)$ が $(3a,8b)$ と平行なこと、すなわち
$$8b(x-a)-3a(y-b)=0$$
である。展開して
$$8bx-3ay=5ab.$$
したがって空欄は $\text{ア}=3,\ \text{イ}=8,\ \text{ウ}=5,\ \text{エ}=8$。

軸上の場合も同じ式が使える。$a=0$ なら楕円上なので $b=\pm\sqrt3\ne0$。接線方向は水平、法線方向は鉛直で、式は $x=0$ となる。$b=0$ なら $a=\pm2\sqrt2\ne0$。接線方向は鉛直、法線方向は水平で、式は $y=0$ となる。$a=b=0$ は楕円上にない。

(2)　 正五角形の一辺が $1$、対角線が $r$ である。外接円の半径を $\rho$ とすると、一辺と対角線はそれぞれ中心角 $72^\circ,144^\circ$ に対する弦なので
$$1=2\rho\sin36^\circ,\qquad r=2\rho\sin72^\circ=4\rho\sin36^\circ\cos36^\circ.$$
よって $r=2\cos36^\circ$。$c=\cos36^\circ$ とおくと、三倍角と二倍角の公式および $\cos108^\circ=-\cos72^\circ$ から
$$4c^3-3c=-(2c^2-1),\quad (c+1)(4c^2-2c-1)=0.$$
$c>0$ だから $4c^2-2c-1=0$、従って $r^2-r-1=0$。よって
$$(r-1)^2=r^2-2r+1=2-r,$$
すなわち $\text{オ}=2$。
隣り合う辺 $OA,OB$ の端点 $A,B$ は同じ正五角形の対角線の両端なので $AB=r$。余弦定理より
$$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\frac{|OA|^2+|OB|^2-|AB|^2}{2}=1-\frac{r^2}{2}=\frac12-\frac12r.$$
従って $a=1/2,b=-1/2$。同様に $ABC$ は一辺 $r$ の正三角形である。$O$ から平面 $ABC$ への垂線の足は、$OA=OB=OC=1$ より正三角形の外心であり、その高さは $h=\sqrt{1-r^2/3}$。底面積は $\sqrt3r^2/4$ だから
$$\frac Vr=\frac{\sqrt3r}{12}\sqrt{1-\frac{r^2}{3}}.$$
$r^2=r+1$ より $r^4=(r+1)^2=3r+2$ であり、$3r^2-r^4=1$。上の正の値は従って $1/12$。よって $\text{カ}=1,\text{キ}=2,\text{クケ}=-1,\text{コ}=2,\text{サ}=1,\text{シス}=12$。

(3)　 被積分関数は偶関数なので、$u=\tan x$ と置換して
$$\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{dx}{\sqrt{9+7\tan|x|}\cos^2x} =2\int_0^{\pi/4}\frac{dx}{\sqrt{9+7\tan x}\cos^2x} =2\int_0^1\frac{du}{\sqrt{9+7u}}。$$
従って値は $\frac47$。

(4)　 正負の範囲を組にすると
$$\frac{1}{1-\sin x}+\frac{1}{1+\sin x}=\frac{2}{\cos^2x}.$$
従って $u=\tan x$ と置けば
$$\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{\sqrt{4+5\tan|x|}}{1-\sin x}\,dx =2\int_0^{\pi/4}\frac{\sqrt{4+5\tan x}}{\cos^2x}\,dx =2\int_0^1\sqrt{4+5u}\,du =\frac4{15}(27-8)=\frac{76}{15}.$$
空欄は $\text{セ}=4,\text{ソ}=7,\text{タチ}=76,\text{ツテ}=15$。