9東邦大学 2022年 数学 第9問解答・解説

東邦大学 2022年度 第9問

条件から
$$\beta=\frac{\pi}{2}-3\alpha,\qquad 0<\alpha<\frac{\pi}{6}.$$
$S=\alpha+\beta$ とおくと
$$S=\frac{\pi}{2}-2\alpha,\qquad \frac{\pi}{6}<S<\frac{\pi}{2}.$$
この範囲で正接関数は単調増加だから
$$\tan(\alpha+\beta)=\tan S>\tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{3}.$$
下限は $\alpha\to\pi/6$ で近づくが $\beta>0$ なので等号はとらない。

次に $\alpha=\frac{\pi}{4}-\frac S2$ より
$$\alpha-\beta=2\alpha-S=\frac{\pi}{2}-2S.$$
$t=\tan S$ とおくと $t>1/\sqrt3$ であり、$\sin2S>0$ だから
$$\tan(\alpha-\beta)=\cot2S =\frac{\cos2S}{\sin2S} =\frac{1-t^2}{2t}.$$
求める式は
$$\begin{aligned} 5\tan(\alpha+\beta)+4\tan(\alpha-\beta) &=5t+4\frac{1-t^2}{2t}\\ &=3t+\frac2t\\ &\geqq2\sqrt{3t\cdot\frac2t}=2\sqrt6. \end{aligned}$$$$5\tan (\alpha +\beta )+4\tan (\alpha -\beta )=5t+4\frac{1-t^2}{2t}$$$$=3t+\frac{2}{t}$$$$\geqq 2\sqrt{3t\cdot \frac{2}{t}}=2\sqrt{6}.$$
等号条件は $3t=2/t$、すなわち $t=\sqrt{2/3}>1/\sqrt3$。この値は許される範囲内にあり、対応する $S$ と $\alpha=\frac{\pi}{4}-S/2,\ \beta=S-\alpha$ はともに正なので最小値は実際に達成される。