2東邦大学 2022年 数学 第2問解答・解説

東邦大学 2022年度 第2問

二つの放物線の $y$ 座標を等しくすると
$$x^2+3x+4k+3=x^2-2kx-3,$$
すなわち
$$(2k+3)(x+2)=0.$$
$k=-\frac32$ なら二つの式はともに $y=x^2+3x-3$ となり、共有点は無数にある。従って共有点が1つだけという条件では $k\neq-\frac32$ であり、唯一の共有点の $x$ 座標は $x=-2$。

このとき $y$ 座標は
$$(-2)^2+3(-2)+4k+3=1+4k.$$
共有点が $x$ 軸上にあるため $1+4k=0$、従って $k=-\frac14$。この値は $-\frac32$ ではなく、条件を満たす。共有点は $(-2,0)$。