5東邦大学 2022年 数学 第5問解答・解説

東邦大学 2022年度 第5問

$$PQ=QR=RP=\sqrt2$$
だから $\triangle PQR$ は一辺 $\sqrt2$ の正三角形である。その内接円の半径は、面積を半周長で割って
$$r=\frac{(\sqrt3/4)(\sqrt2)^2}{3\sqrt2/2} =\frac{\sqrt6}{6} =\sqrt{\frac16}.$$
従って $\text{ク}=1,\ \text{ケ}=6$。

内心 $I$ は重心と一致するので
$$I=\left(\frac13,\frac13,\frac13\right).$$
平面 $PQR$ の法線方向は $(1,1,1)$。球面の中心 $X$ は、断面円の中心 $I$ を通る法線上にあるため
$$X=(\lambda,\lambda,\lambda)$$
とおける。球面は原点を通るのでその半径 $R$ は
$$R^2=|X|^2=3\lambda^2.$$
平面上の断面円の半径の二乗は、球の半径の二乗から中心 $X$ と断面中心 $I$ の距離の二乗を引いた値だから
$$\left(\frac{\sqrt6}{6}\right)^2 =R^2-|X-I|^2 =3\lambda^2-3\left(\lambda-\frac13\right)^2 =2\lambda-\frac13.$$
従って $1/6=2\lambda-1/3$、すなわち $\lambda=1/4$。よって球面の半径は
$$R=\sqrt{3\left(\frac14\right)^2}=\frac{\sqrt3}{4}.$$
答え：断面円の半径は $\sqrt{1/6}$、球面の半径は $\sqrt3/4$。