10東邦大学 2022年 数学 第10問解答・解説

東邦大学 2022年度 第10問

$$g'(x)=\frac{e^x+e^{-x}}2>0$$
であり、$g(x)\to\infty$（$x\to\infty$）、$g(x)\to-\infty$（$x\to-\infty$）。従って $g$ は実数全体から実数全体への単調増加関数で、逆関数 $f$ は実数全体で定義される。$g(f(x))=x$ を微分すると
$$\frac{e^{f(x)}+e^{-f(x)}}2\,f'(x)=1.$$
また $g(f(x))=x$ なので
$$(e^{f(x)}+e^{-f(x)})^2 =(e^{f(x)}-e^{-f(x)})^2+4 =4x^2+4.$$
左辺の平方根は正だから
$$f'(x)=\frac1{\sqrt{1+x^2}}.$$
特に
$$f'(2)=\frac1{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}.$$

最小の定数 $a$

$$f''(x)=-\frac{x}{(1+x^2)^{3/2}}.$$
$u=|x|\geqq0$ とおいて
$$h(u)=\frac{u}{(1+u^2)^{3/2}}$$
を考えると
$$h'(u)=\frac{1-2u^2}{(1+u^2)^{5/2}}.$$
従って $h$ は $0\leqq u\leqq1/\sqrt2$ で増加し、その後減少する。$h(0)=0$、$u\to\infty$ で $h(u)\to0$ より最大値は
$$h\left(\frac1{\sqrt2}\right) =\frac{1/\sqrt2}{(3/2)^{3/2}} =\frac{2}{3\sqrt3} =\frac{2\sqrt3}{9}.$$
よって $|f''(x)|\leqq 2\sqrt3/9$ がすべての実数 $x$ で成り立つ。平均値の定理から任意の $y,z$ について
$$|f'(y)-f'(z)|\leqq\frac{2\sqrt3}{9}|y-z|.$$
一方、与えられた不等式が定数 $a$ で成り立つなら、$z\to y$ とすることで $|f''(y)|\leqq a$ がすべての $y$ で必要となる。$y=1/\sqrt2$ では $|f''(y)|=2\sqrt3/9$ なので、これより小さい定数では不等式は成立しない。従って最小値は $a=2\sqrt3/9$。