4鹿児島大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1) は対数の中身の正値を確認して直接微分する。
(2) は被積分関数を区間内で比較して積分する。
(3) は (2) に a=1 を適用し、置換積分と (1) の導関数から両辺を評価する。

(1)

$\sqrt{x^{2}+1}>|x|$ なので、$x+\sqrt{x^{2}+1}>0$ である。したがって絶対値を外して微分できる。
$$\begin{aligned} y'&=\dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}}{x+\sqrt{x^{2}+1}}\\ &=\dfrac{\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}+x}{\sqrt{x^{2}+1}}}{x+\sqrt{x^{2}+1}} =\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}. \end{aligned}$$$$y^{\prime }=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}$$$$=\frac{\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}.$$
これはすべての実数 $x$ で成り立つ。

(2)

$a>0$ とする。$0<x\leqq a$ なら $1+x^{2}>1$ だから、
$$(1+x^{2})^{2}>1+x^{2},\qquad 1+x^{2}>\sqrt{1+x^{2}}.$$
両辺は正なので逆数をとると、
$$\dfrac{1}{1+x^{2}}<\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\qquad(0<x\leqq a).$$
被積分関数の差は $0\leqq x\leqq a$ で連続し、$0<x\leqq a$ で正である。したがってその積分も正となり、
$$\displaystyle\int_{0}^{a}\left(\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}-\dfrac{1}{1+x^{2}}\right)dx>0.$$
これを移項して、
$$\displaystyle\int_{0}^{a}\dfrac{1}{1+x^{2}}\,dx<\displaystyle\int_{0}^{a}\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx$$
を得る。

(3)

(2) で $a=1$ とする。左辺の積分は $x=\tan t$（$0\leqq t\leqq\dfrac{\pi}{4}$）と置換して、
$$\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1}{1+x^{2}}\,dx =\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}\dfrac{1+\tan^{2}t}{1+\tan^{2}t}\,dt =\dfrac{\pi}{4}.$$
また (1) より、
$$\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx =\left[\log\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)\right]_{0}^{1} =\log(1+\sqrt{2}).$$
(2) の厳密不等号にこの二つの値を代入すると、
$$\dfrac{\pi}{4}<\log(1+\sqrt{2})$$
を得る。