東邦大学／2022年度／一般

4東邦大学 2022年数学第4問解答・解説

場合の数と確率数列

1問題

東邦大学2022年度第4問

4. 横一列に並べられた5枚のカードから任意に2枚のカードを選び、その2枚のカードを入れ替えるという操作を考える。今、左から順に青いカードを2枚、白いカードを3枚並べ、この操作を

n

回繰り返したときに左端が青いカードである確率を

P_{n}

とする。このとき、

P_{1}=\frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}\boxed{\text{ウ}}}

であり、

n=1,2,3,\cdots

に対して

P_{n+1} =\frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}P_{n} +\frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}

が成り立つ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

解答を見る途中式つきの解答

東邦大学 2022年度第4問

1回の操作では

{}_{5}\mathrm{C}_{2}=10

通りのカードの組から一様に1組を選ぶ。初めに左端は青なので、1回後も青であるのは、左端を含まない組

{}_{4}\mathrm{C}_{2}=6

通り、または左端ともう1枚の青を入れ替える1通り。従って

P_1=\frac{6+1}{10}=\frac7{10}.

次に、

n

回後に左端が青なら、左端を含まない6組と、左端と他方の青を選ぶ1組で、次も青のままになる。従って

P_{\text{今青}}(\text{次も青})=\frac7{10}.

左端が白なら、他の4枚中に青が2枚ある。左端とその青のいずれかを入れ替える2組で次に左端が青になるから

P_{\text{今白}}(\text{次に青})=\frac2{10}.

全確率の法則より

\begin{aligned} P_{n+1} &=\frac7{10}P_n+\frac2{10}(1-P_n)\\ &amp;=\frac12P_n+\frac15. \end{aligned}

P_{n + 1} = \frac{7}{10} P_{n} + \frac{2}{10} (1 - P_{n}) am p; = \frac{1}{2} P_{n} + \frac{1}{5} .

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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