3藤田医科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

(1)

$x=\cos\theta$ は $\theta$ が増えると 1 から 0 へ減少する。$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ では
$$\dfrac{dx}{d\theta}=-\sin\theta,\qquad \dfrac{dy}{d\theta}=-(k-\theta)\sin\theta.$$
したがって、$y=f(x)$ と表したとき
$$f'(x)=\dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}=k-\theta$$
である。ここで $\theta$ は $\cos\theta=x$、$0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ を満たす角である。
また、$x=\cos\theta$ を微分すると $\dfrac{d\theta}{dx}=-\dfrac{1}{\sin\theta}=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ である。よって
$$f''(x)=-\dfrac{d\theta}{dx}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}>0\qquad(0<x<1).$$
臨界点は $\theta=k$、すなわち $x=\cos k$ である。$x<\cos k$ では $\theta>k$ なので $f'(x)<0$、$x>\cos k$ では $f'(x)>0$ である。よって $f$ は $0\leqq x\leqq\cos k$ で減少し、$\cos k\leqq x\leqq1$ で増加する。$0\leqq x\leqq1$ の範囲での最小値は
$$f(\cos k)=\sin k$$
である。端点値は $f(0)=1$、$f(1)=k$ である。したがって閉区間での最大値は $\max(1,k)$ であり、$k<1$ なら $x=0$、$k>1$ なら $x=1$、$k=1$ なら両端でとる。

(2)

$k=\dfrac{\pi}{3}$ のとき、最小点は
$$(\cos k,\,\sin k)=\left(\dfrac{1}{2},\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).$$
端点は $(0,\,1)$、$\left(1,\,\dfrac{\pi}{3}\right)$ である。$f'(x)=\dfrac{\pi}{3}-\theta$（$\cos\theta=x$）より、$0\leqq x<\dfrac{1}{2}$ で減少し、$\dfrac{1}{2}<x\leqq1$ で増加する。また $f''(x)>0$ なので曲線は下に凸である。したがって概形は、$(0,\,1)$ から減少して $\left(\dfrac{1}{2},\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ で最小となり、そこから増加して $\left(1,\,\dfrac{\pi}{3}\right)$ に至る下に凸の曲線である。

(3)

$0\leqq\theta<\dfrac{\pi}{2}$ では $x=\cos\theta>0$ であり、
$$\dfrac{y}{x}=\tan\theta+k-\theta.$$
右辺を $q(\theta)$ とすると
$$q'(\theta)=\tan^{2}\theta\geqq0.$$
実際、任意の $0\leqq\theta_{1}<\theta_{2}<\dfrac{\pi}{2}$ で
$$q(\theta_{2})-q(\theta_{1})=\displaystyle\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}\tan^{2}u\,du>0$$
だから、$q$ は厳密に増加する。したがって傾き $m$ をもつ直線 $y=mx$ と曲線 $C$ の交点は高々 1 つである。垂直な直線 $x=0$ については、曲線上で $x=0$ となるのは $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ の一点だけである。よって原点を通るどの直線も $C$ と交わる点は 1 個以下である。

(4)

媒介変数から
$$f(x)=\sin\theta+(k-\theta)\cos\theta,\qquad f'(x)=k-\theta$$
なので
$$g(x)=f(x)-xf'(x)=\sin\theta>0\qquad(0<x<1).$$
したがって
$$\left(\dfrac{f(x)}{x}\right)'=\dfrac{xf'(x)-f(x)}{x^{2}}=-\dfrac{g(x)}{x^{2}}<0.$$
よって $m_{a}=\dfrac{f(a)}{a}>m_{b}=\dfrac{f(b)}{b}$ である。領域は $0\leqq x\leqq a$ では 2 本の線分 $\mathrm{OA}$、$\mathrm{OB}$ の間、$a\leqq x\leqq b$ では曲線 $y=f(x)$ と線分 $\mathrm{OB}$ の間にある。従って
$$\begin{aligned} S &=\displaystyle\int_{0}^{a}(m_{a}-m_{b})x\,dx+\int_{a}^{b}\{f(x)-m_{b}x\}\,dx\\ &=\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\dfrac{af(a)-bf(b)}{2}. \end{aligned}$$$$S={\int }_0^a(m_a-m_b)xdx+{\int }_a^b\{f(x)-m_{b}x\}dx$$$$={\int }_a^{b}f(x)dx+\frac{af(a)-bf(b)}{2}.$$
一方、部分積分より
$$I=\displaystyle\int_{a}^{b}\{f(x)-xf'(x)\}\,dx=2\int_{a}^{b}f(x)\,dx-bf(b)+af(a).$$
以上から
$$S=\dfrac{I}{2}.$$

(5)

$\theta$ は $\cos\theta=x$、$0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ を満たす角なので、
$$g(x)=\sin\theta=\sqrt{1-x^{2}}.$$
指定された $a,\,b$ に対して、$x=\sin u$ と置換すると
$$\begin{aligned} I&=\displaystyle\int_{1/2}^{\sqrt{3}/2}\sqrt{1-x^{2}}\,dx =\displaystyle\int_{\pi/6}^{\pi/3}\cos^{2}u\,du\\ &=\left[\dfrac{u}{2}+\dfrac{\sin 2u}{4}\right]_{\pi/6}^{\pi/3} =\dfrac{\pi}{12}. \end{aligned}$$$$I={\int }_{1/2}^{\sqrt{3}/2}\sqrt{1-x^2}dx={\int }_{\pi /6}^{\pi /3}{\cos }^{2}udu$$$$={\left[\frac{u}{2}+\frac{\sin 2u}{4}\right]}_{\pi /6}^{\pi /3}=\frac{\pi }{12}.$$
よって (4) より
$$S=\dfrac{\pi}{24}.$$