IV関西医科大学 2022年 数学 第IV問解答・解説

s=sinθ,c=cosθとおいてt=(s+c)/2で弦の式と長さを表す。線分上にある条件を二次式の値の範囲に直し、通過領域を二つの放物線の間として確定する。

$c=\cos\theta,\ s=\sin\theta$ とおく。$\frac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\pi$ では $s-c>0$ であり，$s+c=2t$，$s^2+c^2=1$ である。

(1) 2点 $P(c,c^2),Q(s,s^2)$ を通る直線の傾きは
$$\frac{s^2-c^2}{s-c}=s+c=2t$$
である。切片は $c^2-2tc=-sc$ であり，
$$sc=\frac{(s+c)^2-(s^2+c^2)}2=2t^2-\frac12.$$
したがって直線 $PQ$ の方程式は
$$y=2tx+\frac12-2t^2$$
である。

(2) $\overrightarrow{PQ}=(s-c,s^2-c^2)=(s-c)(1,2t)$ だから
$$L^2=(s-c)^2(1+4t^2).$$
また $(s-c)^2=1-2sc=2-4t^2$ であり，$s+c$ は $\theta$ が $\frac\pi2$ から $\pi$ へ動くと1から−1まで連続して変わるので，$u=4t^2$ は $0\leqq u\leqq1$ の全ての値をとる。よって
$$L^2=(2-u)(1+u)=2+u(1-u).$$
$0\leqq u\leqq1$ より $0\leqq u(1-u)\leqq\frac14$ であるから
$$\sqrt2\leqq L\leqq\frac32.$$

(3) 上の最大値は $u(1-u)$ が最大となる $u=\frac12$ のときにとる。したがって
$$s+c=2t=\pm\frac1{\sqrt2}.$$
$s+c=\sqrt2\sin(\theta+\frac\pi4)$ を用い，指定範囲内で解くと
$$\theta=\frac{7\pi}{12},\quad\frac{11\pi}{12}$$
である。

(4) パラメータ $t$ は $-\frac12\leqq t\leqq\frac12$ を動き，直線の式を平方完成すると
$$y=\frac{1+x^2}{2}-2\left(t-\frac{x}{2}\right)^2.$$
したがって $y\leqq\frac{1+x^2}{2}$ である。また，線分の端点の $x$ 座標は $-1\leqq c\leqq1$、$-1\leqq s\leqq1$ を満たすので，線分上でも $-1\leqq x\leqq1$ である。さらに線分上にある条件は，端点の中点が $x=t$，半分の長さが $\sqrt{\frac12-t^2}$ であることから
$$|x-t|\leqq\sqrt{\frac12-t^2}\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad x^2\leqq 2tx+\frac12-2t^2=y.$$
よって通過領域は
$$-1\leqq x\leqq1,\qquad x^2\leqq y\leqq\frac{1+x^2}{2}$$
である。この範囲の全ての点が実際に通過する。$-1\leqq x\leqq1$ を満たす $x$ を固定すると，$t=x/2$ は許され，上側境界を与える。下側境界 $y=x^2$ は $x\geqq0$ なら $Q$，$x\leqq0$ なら $P$ がその点となるパラメータで実現し，その間の許される $t$ は連続な区間である。したがって各縦断面はこの二境界の間を全て含む。図は放物線 $y=x^2$ と $y=\frac{1+x^2}{2}$ の間で，交点 $(-1,1),(1,1)$ に挟まれた閉領域を塗ったものとなる。境界も含む。