1筑波大学 2022年 数学 第1問解答・解説

$t$、$p$ を実数とし、$t>0$ とする。$xy$ 平面において、原点 O を中心とし点 $A(1,\,t)$ を通る円を $C_{1}$ とする。また、点 A における $C_{1}$ の接線を $\ell$ とする。直線 $x=p$ を軸とする 2 次関数のグラフ $C_{2}$ は、x 軸と接し、点 A において直線 $\ell$ とも接するとする。

(1) 直線 $\ell$ の方程式を $t$ を用いて表せ。

(2) $p$ を $t$ を用いて表せ。

(3) $C_{2}$ と $x$ 軸の接点を M とし、$C_{2}$ と $y$ 軸の交点を N とする。t が正の実数全体を動くとき、三角形 OMN の面積の最小値を求めよ。