2金沢医科大学 2023年 数学 第2問解答・解説

金沢医科大学 2023年度 数学 Q2

放物線を
$$y=ax^2+bx+c\qquad(a\ne0)$$
とおく。点 $K(0,1)$ を通るから $c=1$ である。

放物線の決定

直線①と放物線の交点の $x$ 座標は
$$ax^2+\left(b-\frac23\right)x+1=0$$
の解である。接することはこの二次方程式が重解をもつことと同値なので、判別式が0となり
$$\left(b-\frac23\right)^2-4a=0.$$
同様に直線②との交点について
$$\left(b+\frac43\right)^2-4a=0.$$
両式の左辺の平方部分を等しくすると
$$\left(b-\frac23\right)^2=\left(b+\frac43\right)^2.$$
差の平方を因数分解すると
$$\left(-2\right)\left(2b+\frac23\right)=0,$$
したがって $b=-\frac13$。これを最初の式に代入して $4a=1$、ゆえに $a=\frac14$。よって
$$\boxed{y=\frac14x^2-\frac13x+1}.$$

接点 $A,B$

①との交点方程式は
$$\frac14x^2-x+1=\frac14(x-2)^2=0$$
なので $x=2$、$y=\frac23\cdot2=\frac43$。従って
$$\boxed{A\left(2,\frac43\right)}.$$

②との交点方程式は
$$\frac14x^2+x+1=\frac14(x+2)^2=0$$
なので $x=-2$、$y=-\frac43(-2)=\frac83$。従って
$$\boxed{B\left(-2,\frac83\right)}.$$
どちらも重解であることから、これらがそれぞれの接点である。

点 $K$ での接線と面積

放物線の導関数は $y'=\frac12x-\frac13$ であり、$x=0$ での傾きは $-\frac13$。点 $K(0,1)$ を通る接線④は
$$\boxed{y=-\frac13x+1}.$$

④と①の交点では $-\frac13x+1=\frac23x$ より $x=1$、$y=\frac23$。従って $A'=(1,\frac23)$。④と②の交点では $-\frac13x+1=-\frac43x$ より $x=-1$、$y=\frac43$。従って $B'=(-1,\frac43)$。原点を含む三角形の面積は、2点の座標による三角形の面積公式から
$$\frac12\left|1\cdot\frac43-(-1)\cdot\frac23\right|=1.$$
したがって
$$\boxed{[\triangle OA'B']=1}.$$

最終結果: 放物線 $y=\frac14x^2-\frac13x+1$、$A=(2,\frac43)$、$B=(-2,\frac83)$、接線④ $y=-\frac13x+1$、三角形の面積 $1$。