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長崎大学／2025年度／前期

6長崎大学 2025年 数学 第6問解答・解説

微分・積分の考え図形と方程式極限

難易度勝負 レベル 5/10 目安 25分編集部の評価

対象教育・薬・歯・工など医学科は解かない

1問題

長崎大学2025年度第6問
図 1 のように、原点を O\mathrm{O} とする xyxy 座標平面上に、曲線 C:y=x2C:y=x^{2} がある。曲線 CC 上の点 A(−1, 1)\mathrm{A}(-1,\,1) と曲線 CC 上を動く点 P(t, t2)\mathrm{P}(t,\,t^{2}) がある。ただし、−1<t<0-1<t<0 とする。CC 上の A\mathrm{A} における接線を ll とし、A\mathrm{A} を通り ll に垂直な直線を法線 l′l' とする。同様に CC 上の P\mathrm{P} における接線を mm とし、P\mathrm{P} を通り mm に垂直な直線を法線 m′m' とする。以下の問いに答えよ。

(1) 接線 ll および法線 l′l' の方程式をそれぞれ求めよ。

(2) 接線 mm および法線 m′m' の方程式をそれぞれ tt を用いて表せ。

(3) l′l' と m′m' の交点を R\mathrm{R} とする。曲線 CC 上を P\mathrm{P} が A\mathrm{A} に限りなく近づくとき、R\mathrm{R} が限りなく近づく点を R0\mathrm{R}_{0} とする。R0\mathrm{R}_{0} の座標を求めよ。

(4) (3) の R0\mathrm{R}_{0} を中心とし、A\mathrm{A} を通る円 DD の方程式を求めよ。また、円 DD と曲線 CC が共有する点のうち、A\mathrm{A} と異なる点を B\mathrm{B} とする。B\mathrm{B} の座標を求めよ。

(5) (4) において、円 DD と法線 l′l' が共有する点のうち、A\mathrm{A} と異なる点を E\mathrm{E} とするとき、線分 BE\mathrm{BE}、円 DD、曲線 CC とで囲まれる図形（図 2 の斜線部、境界を含む）の面積を求めよ。
図1：曲線 C と点 A、P での接線と法線。図2：円 D と曲線 C、点 B、E と斜線部

出典：長崎大学 2025年度 前期 数学 第6問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    l:y=−2x−1l:y=-2x-1、l′:y=12x+32l':y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}
  • (2)
    m:y=2tx−t2m:y=2tx-t^{2}、m′:y=−12tx+t2+12m':y=-\dfrac{1}{2t}x+t^{2}+\dfrac{1}{2}
  • (3)
    R0(4, 72)\mathrm{R}_{0}\left(4,\,\dfrac{7}{2}\right)
  • (4)
    D:(x−4)2+(y−72)2=1254D:(x-4)^{2}+\left(y-\dfrac{7}{2}\right)^{2}=\dfrac{125}{4}、B(3, 9)\mathrm{B}(3,\,9)
  • (5)
    1258π+583\dfrac{125}{8}\pi+\dfrac{58}{3}

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

R0\mathrm{R}_{0} は A\mathrm{A} での曲率円の中心で、円 DD は CC と A\mathrm{A} で 3 重に接する（交点の方程式が (x+1)3(x−3)=0(x+1)^{3}(x-3)=0 となる）。R0\mathrm{R}_{0} は l′l' 上にあるので AE\mathrm{AE} は直径。斜線部は、直径 AE\mathrm{AE} の下側の半円から、AE\mathrm{AE} と CC にはさまれた部分を除き、AE\mathrm{AE} の上側で CC と BE\mathrm{BE} にはさまれた部分を加えて求める。

解答

(1)

y′=2xy'=2x より、ll の傾きは −2-2 で l:y=−2x−1l:y=-2x-1。l′l' の傾きは 12\dfrac{1}{2} で l′:y=12(x+1)+1=12x+32l':y=\dfrac{1}{2}(x+1)+1=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}。

(2)

m:y=2t(x−t)+t2=2tx−t2m:y=2t(x-t)+t^{2}=2tx-t^{2}。m′m' の傾きは −12t-\dfrac{1}{2t} で、m′:y=−12t(x−t)+t2=−12tx+t2+12m':y=-\dfrac{1}{2t}(x-t)+t^{2}=-\dfrac{1}{2t}x+t^{2}+\dfrac{1}{2}。

(3)

l′l' と m′m' を連立すると t+12tx=t2−1\dfrac{t+1}{2t}x=t^{2}-1、t≠−1t\neq-1 より x=2t(t−1)x=2t(t-1)。t→−1t\to-1 のとき x→4x\to4、y=12x+32→72y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}\to\dfrac{7}{2}。よって R0(4, 72)\mathrm{R}_{0}\left(4,\,\dfrac{7}{2}\right)。

(4)

半径の 2 乗は AR02=25+254=1254\mathrm{AR}_{0}^{2}=25+\dfrac{25}{4}=\dfrac{125}{4} で
D:(x−4)2+(y−72)2=1254. D:(x-4)^{2}+\left(y-\dfrac{7}{2}\right)^{2}=\dfrac{125}{4}.
y=x2y=x^{2} を代入して整理すると
x4−6x2−8x−3=0⟺(x+1)3(x−3)=0. x^{4}-6x^{2}-8x-3=0\quad\Longleftrightarrow\quad(x+1)^{3}(x-3)=0.
A\mathrm{A} と異なる点は x=3x=3 で、B(3, 9)\mathrm{B}(3,\,9)。

(5)

R0\mathrm{R}_{0} は l′l' 上にあるから AE\mathrm{AE} は円 DD の直径で、E=2R0−A=(9, 6)\mathrm{E}=2\mathrm{R}_{0}-\mathrm{A}=(9,\,6)。直線 AE\mathrm{AE} は l′l'：y=12x+32y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}、直線 BE\mathrm{BE} は y=−12x+212y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{21}{2} である。

CC と l′l' は x2=12x+32x^{2}=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2} より x=−1, 32x=-1,\ \dfrac{3}{2} で交わる。この交点を F(32, 94)\mathrm{F}\left(\dfrac{3}{2},\,\dfrac{9}{4}\right) とする。斜線部は次のように求められる。

・直径 AE\mathrm{AE} の下側の半円：12π⋅1254=1258π\dfrac{1}{2}\pi\cdot\dfrac{125}{4}=\dfrac{125}{8}\pi。

・このうち、l′l' と CC にはさまれた部分（−1≦x≦32-1\leqq x\leqq\dfrac{3}{2}）は斜線部に入らない。その面積は 16(32+1)3=12548\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{3}{2}+1\right)^{3}=\dfrac{125}{48}。

・AE\mathrm{AE} の上側では、三角形 FEB\mathrm{FEB} から、線分 FB\mathrm{FB} と CC にはさまれた部分を除いたものが斜線部である。FE→=(152, 154)\overrightarrow{\mathrm{FE}}=\left(\dfrac{15}{2},\,\dfrac{15}{4}\right)、FB→=(32, 274)\overrightarrow{\mathrm{FB}}=\left(\dfrac{3}{2},\,\dfrac{27}{4}\right) より △FEB=12∣152⋅274−154⋅32∣=452\triangle\mathrm{FEB}=\dfrac{1}{2}\left|\dfrac{15}{2}\cdot\dfrac{27}{4}-\dfrac{15}{4}\cdot\dfrac{3}{2}\right|=\dfrac{45}{2}。線分 FB\mathrm{FB} と CC にはさまれた部分は 16(3−32)3=916\dfrac{1}{6}\left(3-\dfrac{3}{2}\right)^{3}=\dfrac{9}{16}。

よって求める面積は
1258π−12548+452−916=1258π+583. \dfrac{125}{8}\pi-\dfrac{125}{48}+\dfrac{45}{2}-\dfrac{9}{16}=\dfrac{125}{8}\pi+\dfrac{58}{3}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 接線の方程式
  • 法線の方程式
  • 円の方程式
  • 因数定理
  • 定積分と面積

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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