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長崎大学／2025年度／前期

3長崎大学 2025年 数学 第3問解答・解説

微分・積分の考え

難易度勝負 レベル 4/10 目安 25分編集部の評価

対象教育・経済・水産など医学科は解かない

1問題

長崎大学2025年度第3問
下図のように、原点を O\mathrm{O} とする xyxy 座標平面上における曲線 C:y=∣x2−x∣C:y=|x^{2}-x| と直線 l:y=ax (a>0)l:y=ax\ (a>0) は、異なる 3 点 O, A, B\mathrm{O},\,\mathrm{A},\,\mathrm{B} を共有している。ただし、A\mathrm{A} の xx 座標は B\mathrm{B} の xx 座標より小さいものとする。以下の問いに答えよ。

(1) 2 点 A, B\mathrm{A},\,\mathrm{B} の xx 座標を、aa を用いてそれぞれ表せ。また、aa の取り得る値の範囲を求めよ。

(2) 線分 OA\mathrm{OA} と曲線 CC とで囲まれる図形の面積 S1S_{1} を aa を用いて表せ。

(3) 線分 AB\mathrm{AB} と曲線 CC とで囲まれる図形の面積 S2S_{2} を aa を用いて表せ。

(4) (2) と (3) の S1S_{1} と S2S_{2} の和 (S1+S2)(S_{1}+S_{2}) の最小値と、そのときの aa の値を求めよ。
曲線 y=|x²−x| と直線 l、交点 O、A、B の図

出典：長崎大学 2025年度 前期 数学 第3問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    A\mathrm{A} の xx 座標 1−a1-a、B\mathrm{B} の xx 座標 1+a1+a、0<a<10<a<1
  • (2)
    S1=(1−a)36S_{1}=\dfrac{(1-a)^{3}}{6}
  • (3)
    S2=a2S_{2}=a^{2}
  • (4)
    最小値 23−1623\dfrac{23-16\sqrt{2}}{3}（a=3−22a=3-2\sqrt{2}）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

0<x<10<x<1 では CC は y=x−x2y=x-x^{2}、x>1x>1 では y=x2−xy=x^{2}-x。S2S_{2} は x=1x=1 を中心に u=x−1u=x-1 とおくと計算が軽い。(4) は S1+S2S_{1}+S_{2} を微分して増減を調べる。

解答

(1)

0<x<10<x<1 で x−x2=axx-x^{2}=ax より x=1−ax=1-a、x>1x>1 で x2−x=axx^{2}-x=ax より x=1+ax=1+a（x<0x<0 では x2−x=axx^{2}-x=ax の解は x=1+a>0x=1+a>0 となり不適）。A\mathrm{A} が 0<x<10<x<1 にあるためには 0<1−a<10<1-a<1 で、a>0a>0 と合わせて 0<a<10<a<1。よって A\mathrm{A} の xx 座標は 1−a1-a、B\mathrm{B} の xx 座標は 1+a1+a、0<a<10<a<1。

(2)

S1=∫01−a{(x−x2)−ax} dx=∫01−ax{(1−a)−x} dx=(1−a)36. S_{1}=\int_{0}^{1-a}\{(x-x^{2})-ax\}\,dx=\int_{0}^{1-a}x\{(1-a)-x\}\,dx=\dfrac{(1-a)^{3}}{6}.

(3)

1−a≦x≦1+a1-a\leqq x\leqq1+a では直線が上にある。u=x−1u=x-1 とおくと、∣x2−x∣=∣u2+u∣|x^{2}-x|=|u^{2}+u|、ax=a+auax=a+au で
S2=∫−a0{a+au+(u2+u)} du+∫0a{a+au−(u2+u)} du. S_{2}=\int_{-a}^{0}\{a+au+(u^{2}+u)\}\,du+\int_{0}^{a}\{a+au-(u^{2}+u)\}\,du.
第 1 項は a2−a32+a33−a22a^{2}-\dfrac{a^{3}}{2}+\dfrac{a^{3}}{3}-\dfrac{a^{2}}{2}、第 2 項は a2+a32−a33−a22a^{2}+\dfrac{a^{3}}{2}-\dfrac{a^{3}}{3}-\dfrac{a^{2}}{2} で、その和は
S2=a2. S_{2}=a^{2}.

(4)

S(a)=S1+S2=(1−a)36+a2S(a)=S_{1}+S_{2}=\dfrac{(1-a)^{3}}{6}+a^{2} とおくと
S′(a)=−(1−a)22+2a=−a2−6a+12. S'(a)=-\dfrac{(1-a)^{2}}{2}+2a=-\dfrac{a^{2}-6a+1}{2}.
0<a<10<a<1 で S′(a)=0S'(a)=0 となるのは a=3−22a=3-2\sqrt{2} で、その前後で S′(a)S'(a) は負から正に変わるので、ここで最小となる。このとき (1−a)2=4a(1-a)^{2}=4a だから
S=4a(1−a)6+a2=2a−2a2+3a23=a2+2a3. S=\dfrac{4a(1-a)}{6}+a^{2}=\dfrac{2a-2a^{2}+3a^{2}}{3}=\dfrac{a^{2}+2a}{3}.
a2=6a−1a^{2}=6a-1 より S=8a−13=8(3−22)−13=23−1623S=\dfrac{8a-1}{3}=\dfrac{8(3-2\sqrt{2})-1}{3}=\dfrac{23-16\sqrt{2}}{3}。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 絶対値を含む関数のグラフ
  • 定積分と面積
  • 増減表

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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