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長崎大学／2025年度／前期

10長崎大学 2025年 数学 第10問解答・解説

三角関数ベクトル積分法

1問題

長崎大学2025年度第10問
xyzxyz 座標空間の xyxy 平面上に、原点 OO を中心とする半径1の円 CC があり、円 CC の周上を動く点を P(cos⁡θ,sin⁡θ,0)P(\cos\theta,\sin\theta,0) とする。また、z=1z=1 で表される平面 TT 上に、点 A(0,0,1)A(0,0,1) を中心とする半径1の円 DD があり、円 DD の周上を動く点を Q(cos⁡(θ+α),sin⁡(θ+α),1)Q(\cos(\theta+\alpha),\sin(\theta+\alpha),1) とする。ただし、θ\theta は 0≦θ≦2π0\leqq\theta\leqq2\pi の変数とし、α\alpha は 0≦α≦π0\leqq\alpha\leqq\pi の定数とする。以下の問いに答えよ。
(1) PR→=tPQ→  (0≦t≦1)\overrightarrow{PR}=t\overrightarrow{PQ}\;(0\leqq t\leqq1) とする。このとき、点 R(x,y,z)R(x,y,z) の x,y,zx,y,z をそれぞれ t,θ,αt,\theta,\alpha を用いて表せ。
(2) (1)の RR から zz 軸に垂線 RHRH を下ろし、2点 R,HR,H の距離を dd とする。d2d^{2} を α\alpha と tt の式で表せ。また、tt が t=0t=0 から t=1t=1 まで変化するとき、dd の最小値を α\alpha を用いて表し、そのときの tt の値を求めよ。ただし、0<α≦π0<\alpha\leqq\pi とする。
(3) θ\theta が θ=0\theta=0 から θ=2π\theta=2\pi まで変化するとき、線分 PQPQ が通過してできる曲面と、xyxy 平面と平面 TT の2平面とで囲まれる立体 FF の体積 VV を α\alpha を用いて表せ。
(4) (3)の立体 FF は、定数 α\alpha の値によって様々な形状になる。立体 FF の体積 VV が最大、最小になるときの α\alpha の値と体積をそれぞれ求め、そのときの形状をそれぞれ答えよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    x=(1−t+tcos⁡α)cos⁡θ−tsin⁡αsin⁡θx=(1-t+t\cos\alpha)\cos\theta-t\sin\alpha\sin\theta、y=tsin⁡αcos⁡θ+(1−t+tcos⁡α)sin⁡θy=t\sin\alpha\cos\theta+(1-t+t\cos\alpha)\sin\theta、z=tz=t
  • (2)
    d2=1−4t(1−t)sin⁡2α2d^{2}=1-4t(1-t)\sin^{2}\dfrac{\alpha}{2}。最小値は cos⁡α2\cos\dfrac{\alpha}{2}、そのときの t=12t=\dfrac{1}{2}
  • (3)
    V=π(2+cos⁡α)3V=\dfrac{\pi(2+\cos\alpha)}{3}
  • (4)
    最大値 π\pi（α=0\alpha=0、円柱）、最小値 π3\dfrac{\pi}{3}（α=π\alpha=\pi、頂点を合わせた 2 個の円錐）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1)

P=(cos⁡θ,sin⁡θ,0)\mathrm{P}=(\cos\theta,\sin\theta,0)、Q=(cos⁡(θ+α),sin⁡(θ+α),1)\mathrm{Q}=(\cos(\theta+\alpha),\sin(\theta+\alpha),1) とし、OR→=OP→+t PQ→\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+t\,\overrightarrow{\mathrm{PQ}} を加法定理で展開すると
x=(1−t+tcos⁡α)cos⁡θ−tsin⁡αsin⁡θ,y=tsin⁡αcos⁡θ+(1−t+tcos⁡α)sin⁡θ,z=t.x=(1-t+t\cos\alpha)\cos\theta-t\sin\alpha\sin\theta,\quad y=t\sin\alpha\cos\theta+(1-t+t\cos\alpha)\sin\theta,\quad z=t.

(2)

高さ z=tz=t での zz 軸からの距離 dd は d2=x2+y2d^{2}=x^{2}+y^{2} で表される。
d2=(1−t)2+t2+2t(1−t)cos⁡α=cos⁡2α2+4sin⁡2α2(t−12)2.d^{2}=(1-t)^{2}+t^{2}+2t(1-t)\cos\alpha=\cos^{2}\dfrac{\alpha}{2}+4\sin^{2}\dfrac{\alpha}{2}\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^{2}.
よって 0<α≦π0<\alpha\leqq\pi で最小は t=12t=\dfrac{1}{2}、そのとき d=cos⁡α2d=\cos\dfrac{\alpha}{2} である。

(3)

高さ z=tz=t での断面は半径 dd の円なので、
V=π∫01{1−4t(1−t)sin⁡2α2}dt=π3(2+cos⁡α).V=\pi\displaystyle\int_{0}^{1}\left\{1-4t(1-t)\sin^{2}\dfrac{\alpha}{2}\right\}dt=\dfrac{\pi}{3}(2+\cos\alpha).

(4)

0≦α≦π0\leqq\alpha\leqq\pi でこれを最大・最小化すると、最大 π\pi は α=0\alpha=0 の円柱、最小 π3\dfrac{\pi}{3} は α=π\alpha=\pi の高さ 12\dfrac{1}{2} の円錐 2 個を頂点で合わせた立体となる。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • ベクトル内分と加法定理
  • 平方完成
  • 円板法

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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