2金沢大学 2025年 数学 第2問解答・解説

実数 $a>0$ に対し、座標平面上の点 $\mathrm{P}(a,\,0)$ をとる。曲線 $y=\dfrac{1}{3}x^{\dfrac{3}{2}}$（$x\geqq 0$）を $C$ とする。点 $\mathrm{Q}$ が曲線 $C$ 上を動くとき、$\mathrm{PQ}^{2}$ の最小値を与える点 $\mathrm{Q}$ の $x$ 座標を $F(a)$ とし、$\mathrm{PQ}^{2}$ の最小値を $G(a)$ とする。次の問いに答えよ。

(1) $F(a)$ を求めよ。

(2) $\displaystyle\lim_{a\to +0}\dfrac{F(a)-a}{a^{2}}$ を求めよ。

(3) $\displaystyle\lim_{a\to +0}\dfrac{G(a)}{a^{3}}$ を求めよ。