11長崎大学 2025年 数学 第11問解答・解説

原点を $O$ とする $xy$ 座標平面上において $y=\sqrt{1-x^{2}}\ (-1\leqq x\leqq 1)$ で表される半円を $C$ とし、$C$ 上の2点を $Q_{0}(-1,\,0)$、$A(1,\,0)$ とする。下図のように、小球 $P$（以下 $P$ と呼ぶ）は $Q_{0}$ より、$x$ 軸の正の向きとなす角が $\theta\ \left(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\right)$ となるように発射され、$P$ が $C$ 上の点 $Q_{1}$ に達すると、$\angle Q_{0}Q_{1}O=\angle OQ_{1}Q_{2}$ となるように反射される。さらに、$P$ は $C$ 上の点 $Q_{2}$ に達すると、同様に $\angle Q_{1}Q_{2}O=\angle OQ_{2}Q_{3}$ となるように反射される。$P$ は、このような反射を繰り返し、はじめて $x$ 軸に達したとき、静止するものとする。このときの反射の回数を $n$ 回（最後の反射する点は $Q_{n}$）とし、静止する点を $R_{n}(x_{n},\,0)$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) $P$ が、1回の反射で $A$ に達するときの $P$ の軌跡を解答用紙の図1に示し、そのときの $\theta$ の値を求めよ。また、$P$ が、2回の反射で $A$ に達するときの $P$ の軌跡を解答用紙の図2に示し、そのときの $\theta$ の値を求めよ。ただし、$\theta$ の値は答えのみでよい。

(2) $P$ が1回の反射で $x$ 軸に達するとき、$\theta$ の値の範囲を求めよ。このとき、$x_{1}$ を $\sin\theta$ の式で表し、$x_{1}$ の取り得る値の範囲を求めよ。

(3) $P$ が $n$ 回の反射で $x$ 軸に達するとき、$\theta$ の値の範囲を求めよ。また、$x_{n}$ を $n$、$\theta$ を用いて表せ。

(4) (3)のとき、$\triangle OR_{n}Q_{n}$ の面積 $S_{n}$ は、$S_{n}=\dfrac{\tan 2n\theta\,\tan\theta}{2(\tan 2n\theta+\tan\theta)}$ と表されることを示し、反射の回数 $n$ が限りなく大きくなる場合は、$S_{n}$ は限りなく $0$ に近づくことを証明せよ。