1長崎大学 2025年 数学 第1問解答・解説

以下はそれぞれ個別の問題である。各問いに答えよ。

(1) 2 次関数 $y=ax^{2}-2ax+b\ (-1\leqq x\leqq2)$ の最大値が 4 で、最小値が $-2$ であるとき、定数 $a,\,b$ の値を求めよ。

(2) 数列 $\{a_{n}\}$ が、$a_{1}=1,\ a_{2}=4,\ a_{n+2}-4a_{n+1}+4a_{n}=0\ (n\geqq1)$ で定義されている。$b_{n}=a_{n+1}-2a_{n},\ c_{n}=\dfrac{a_{n}}{2^{n}}$ とおくとき、$b_{n},\,c_{n}$ をそれぞれ $n$ の式で表し、一般項 $a_{n}$ を求めよ。

(3) $\triangle\mathrm{ABC}$ において、$\mathrm{AB}=4,\ \mathrm{BC}=6,\ \mathrm{CA}=5$ である。$\angle\mathrm{A}$ の 2 等分線と辺 $\mathrm{BC}$ が交わる点を $\mathrm{D}$ とする。$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ を $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ を用いて表せ。また、内積 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ および $|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|$ をそれぞれ求めよ。

（注）(4) は選択問題である。(A)、(B) いずれか 1 問を解答すること。

(4) (A) 円 $C:x^{2}+y^{2}=1$ がある。この円 $C$ を、$y$ 軸をもとにして $x$ 軸方向に 3 倍、$x$ 軸をもとにして $y$ 軸方向に 2 倍した、だ円 $D$ の方程式を求めよ。

また、だ円 $D$ と $y$ 軸との 2 つの交点を $\mathrm{A},\,\mathrm{B}$ とする。ただし、$\mathrm{A}$ の $y$ 座標は正である。点 $\mathrm{P}(x,\,y)$ が、だ円 $D$ 上を動くとき、$\mathrm{A}$ と $\mathrm{P}$ との距離 $\mathrm{AP}$ の最大値と、そのときの $\mathrm{P}$ の座標を求めよ。

(B) $0\leqq x\leqq1$ に値をとる確率変数 $X$ の確率密度関数が $f(x)=kx(x-1)$ であるとき、定数 $k$ の値を求めよ。また、$X$ が $\alpha\leqq x\leqq\beta$ の範囲の値をとる確率を $P(\alpha\leqq X\leqq\beta)$ とするとき、$P\left(0\leqq X\leqq\dfrac{1}{4}\right)$ および $P\left(\dfrac{1}{4}\leqq X\leqq1\right)$ の値をそれぞれ求めよ。