2長崎大学 2025年 数学 第2問解答・解説

(1) は $g(x)=x^{2}-2ax+a$ のグラフで、判別式・軸の位置・端点の符号の 3 つの条件を立てる。(2) は $\cos y=1-\sin x$ で $y$ を消す。(3) は真数をまとめて $x(3-x)^{2}$ の最大値を考える。

(1)

$g(x)=x^{2}-2ax+a$ とおく。$0<x<3$ に異なる 2 つの解をもつ条件は

・判別式：$a^{2}-a>0$ より $a<0,\ 1<a$
・軸：$0<a<3$
・$g(0)=a>0$、$g(3)=9-5a>0$ より $a<\dfrac{9}{5}$

これらを合わせて $1<a<\dfrac{9}{5}$。

(2)

$\cos y=1-\sin x$ より $\sin^{2}y=1-(1-\sin x)^{2}=2\sin x-\sin^{2}x$。第 2 式に代入して
$$4(1-\sin^{2}x)-2\sin x+\sin^{2}x=\dfrac{9}{4}\quad\Longleftrightarrow\quad 12\sin^{2}x+8\sin x-7=0.$$
$(2\sin x-1)(6\sin x+7)=0$ で、$\sin x=\dfrac{1}{2}$。$\cos y=\dfrac{1}{2}$ と $0<y<\pi$ から $y=\dfrac{\pi}{3}$。$x=\dfrac{\pi}{6},\,\dfrac{5}{6}\pi$ のうち $y<x$ を満たすのは $x=\dfrac{5}{6}\pi$。よって $(x,\,y)=\left(\dfrac{5}{6}\pi,\,\dfrac{\pi}{3}\right)$。

(3)

真数条件より $0<x<3$ で、$f(x)=\log_{2}x(3-x)^{2}$。$g(x)=x(3-x)^{2}$ とおくと
$$g'(x)=(3-x)^{2}-2x(3-x)=3(3-x)(1-x)$$
より $g(x)$ は $x=1$ で最大値 $4$ をとる。底 2 は 1 より大きいから、$f(x)$ は $x=1$ で最大値 $\log_{2}4=2$ をとる。