1東海大学 2024年 数学 第1問解答・解説

小問ごとに式を整理して空欄を求めた。積分は被積分関数の差、極限は多項式展開、直線は交点と通過条件、最大・最小は定義域と等号条件を用いて処理した。確率は取り出し順に沿って計算し、空間図形とベクトルは座標・内積で条件を式にした。

(1) 被積分関数の差は
$$(3x+2)^{2}-(3x-2)^{2}=4(3x)(2)=24x$$
である。したがって
$$\displaystyle\int_{0}^{2/3}(3x+2)^{2}\,dx-\displaystyle\int_{0}^{2/3}(3x-2)^{2}\,dx=24\displaystyle\int_{0}^{2/3}x\,dx=12\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}=\dfrac{16}{3}.$$
よって、アは $\dfrac{16}{3}$ である。

(2) 分子を展開すると
$$\begin{aligned} &\dfrac{1}{2}(1+h)^{3}-\dfrac{5}{2}(1+h)^{2}+\dfrac{16}{5}(1+h)-\dfrac{6}{5}\\ &=\dfrac{1}{2}(1+3h+3h^{2}+h^{3})-\dfrac{5}{2}(1+2h+h^{2})+\dfrac{16}{5}(1+h)-\dfrac{6}{5}\\ &=-\dfrac{3}{10}h-h^{2}+\dfrac{1}{2}h^{3}. \end{aligned}$$$$\frac{1}{2}(1+h{)}^3-\frac{5}{2}(1+h{)}^2+\frac{16}{5}(1+h)-\frac{6}{5}$$$$=\frac{1}{2}(1+3h+3h^2+h^3)-\frac{5}{2}(1+2h+h^2)+\frac{16}{5}(1+h)-\frac{6}{5}$$$$=-\frac{3}{10}h-h^2+\frac{1}{2}{h}^3.$$
よって、$h\neq0$ で分子を $h$ で割った式は $-\dfrac{3}{10}-h+\dfrac{1}{2}h^{2}$ となるから、極限は $-\dfrac{3}{10}$ である。

(3) まず、最初の 2 直線の交点を求める。第 1 式を 3 倍して第 2 式を引くと $10y=2$ より $y=\dfrac{1}{5}$、したがって $x=\dfrac{3}{5}$ である。第 3 直線がこの点を通る条件は
$$\dfrac{3}{5}m+\dfrac{1}{5}n=1,\qquad 3m+n=5$$
である。したがって $n=5-3m$ であり、$1\leqq m+n\leqq10$ は $1\leqq5-2m\leqq10$ と同値である。$m$ は整数なので $-2\leqq m\leqq2$ であり、該当する組は
$$(m,n)=(-2,11),\ (-1,8),\ (0,5),\ (1,2),\ (2,-1)$$
の 5 組である。よって、ウは 5 である。

(4) $0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ では $\sin\theta+\cos\theta>0$ であり、
$$(\sin\theta+\cos\theta)^{2}=1+2\sin\theta\cos\theta=1+\sin2\theta\leqq2$$
だから最大値は $\sqrt{2}$ 以下である。$\theta=\dfrac{\pi}{4}$ で等号となる。また $\sin\theta\cos\theta\geqq0$ より $(\sin\theta+\cos\theta)^{2}\geqq1$ であり、端点 $\theta=0,\,\dfrac{\pi}{2}$ で値 1 をとる。よって最大値は $\sqrt{2}$、最小値は 1 である。

(5) 赤玉を $r$ 個とする。戻さずに 2 個取り出してともに赤玉となる確率は
$$\dfrac{r}{11}\cdot\dfrac{r-1}{10}=\dfrac{28}{55}$$
である。これを整理すると $r(r-1)=56$、すなわち $(r-8)(r+7)=0$ となる。$r$ は 0 以上 11 以下の整数なので $r=8$ である。

(6) $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ とおくと、$H=(1-t,\,2t,\,0)$、$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-1,\,2,\,0)$ である。$\mathrm{CH}\perp\mathrm{AB}$ より
$\overrightarrow{\mathrm{CH}}=(1-t,\,2t,\,-3)$ であるから、
$$\overrightarrow{\mathrm{CH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=-(1-t)+4t=5t-1=0$$
より $t=\dfrac{1}{5}$、$H=\left(\dfrac{4}{5},\,\dfrac{2}{5},\,0\right)$ となる。よって
$$\mathrm{OH}=\sqrt{\left(\dfrac{4}{5}\right)^{2}+\left(\dfrac{2}{5}\right)^{2}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}},\qquad \mathrm{OC}=3.$$
$\mathrm{OH}$ は $xy$ 平面上、$\mathrm{OC}$ は $z$ 軸上にあるので $\mathrm{OH}\perp\mathrm{OC}$ である。直角三角形 $\mathrm{OHC}$ において、$\theta=\angle\mathrm{OHC}$ だから
$$\tan\theta=\dfrac{\mathrm{OC}}{\mathrm{OH}}=\dfrac{3}{2/\sqrt{5}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}.$$

(7) $\vec{u}=\vec{a}+3\vec{b}$、$\vec{v}=\vec{a}-4\vec{b}$ とおくと、$|\vec{u}|=|\vec{v}|=1$ である。また
$$\vec{b}=\dfrac{\vec{u}-\vec{v}}{7},\qquad\vec{a}=\dfrac{4\vec{u}+3\vec{v}}{7},\qquad\vec{a}+\vec{b}=\dfrac{5\vec{u}+2\vec{v}}{7}.$$
$\vec{u}$、$\vec{v}$ のなす角を $\phi$ とすれば
$$|\vec{a}+\vec{b}|^{2}=\dfrac{25|\vec{u}|^{2}+4|\vec{v}|^{2}+20\,\vec{u}\cdot\vec{v}}{49}=\dfrac{29+20\cos\phi}{49}.$$
$-1\leqq\cos\phi\leqq1$ より $\dfrac{9}{49}\leqq|\vec{a}+\vec{b}|^{2}\leqq1$ である。上端は $\vec{u}=\vec{v}$、下端は $\vec{u}=-\vec{v}$ のときに実現する。これらの単位ベクトルを選んだときも上の逆変換で条件を満たす $\vec{a}$、$\vec{b}$ が得られる。したがって最大値は 1、最小値は $\dfrac{3}{7}$ である。