長崎大学 2025年数学第8問解答・解説

1問題

長崎大学2025年度第8問

以下はそれぞれ個別の問題である。各問いに答えよ。

(1) 関数

f(x)=\log_2x+2\log_2(3-x)

の最大値と、そのときの

x

の値を求めよ。

(2) 数列

\{a_n\}

が、

a_1=1,a_2=4,a_{n+2}-4a_{n+1}+4a_n=0\ (n\geqq1)

で定義されている。

b_n=a_{n+1}-2a_n,c_n=\frac{a_n}{2^n}

とおくとき、

b_n,c_n

をそれぞれ

n

の式で表し、一般項

a_n

を求めよ。

(3) 選択問題である。(A),(B)いずれか1問を解答すること。
(A) 原点を

O

とする複素数平面上に、原点

O

と異なる2点

A(\alpha),B(\beta)

があり、

4\alpha^2-6\alpha\beta+3\beta^2=0

が成り立つ。このとき、

\frac\beta\alpha

の値を求めよ。また、

\frac\beta\alpha

を極形式で表し、

\triangle OAB

はどのような三角形か答えよ。ただし、

0<\arg\frac\beta\alpha<\pi

とする。
(B)

0\leqq x\leqq1

に値をとる確率変数

X

の確率密度関数が

f(x)=kx(x-1)

であるとき、定数

k

の値を求めよ。また、

X

が

\alpha\leqq x\leqq\beta

の範囲の値をとる確率を

P(\alpha\leqq X\leqq\beta)

とするとき、

0\leqq a\leqq1

における

P(0\leqq X\leqq a)

を

a

を用いて表し、

P(0\leqq X\leqq a)=\frac7{20}P(a\leqq X\leqq1)

を満たす定数

a

の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

1
最大値は $2$ 、そのとき $x=1$ 。
2
$b_{n}=2^{n}$ 、 $c_{n}=\dfrac{n}{2}$ 、 $a_{n}=n\cdot2^{n-1}$ 。
3(A)
$\dfrac{\beta}{\alpha}=1+\dfrac{i}{\sqrt{3}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)$ 。 $\angle\mathrm{OAB}=\dfrac{\pi}{2}$ の直角三角形。
3(B)
$k=-6$ 、 $\mathrm{P}(0\leqq X\leqq a)=3a^{2}-2a^{3}$ 、 $a=\dfrac{1}{3}$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1)

定義域は

0<x<3

。

f(x)=\log_{2}\{x(3-x)^{2}\}

。

g(x)=x(3-x)^{2}

の導関数は

g'(x)=3(x-1)(x-3)

なので、

0<x<1

で増加、

1<x<3

で減少する。

g(1)=4

より最大値は

f(1)=2

。

(2)

b_{n+1}=a_{n+2}-2a_{n+1}=2(a_{n+1}-2a_{n})=2b_{n}

。

b_{1}=4-2=2

より

b_{n}=2^{n}

。

c_{n+1}-c_{n}=\dfrac{a_{n+1}-2a_{n}}{2^{n+1}}=\dfrac{1}{2}

、

c_{1}=\dfrac{1}{2}

だから

c_{n}=\dfrac{n}{2}

。
したがって

a_{n}=2^{n}c_{n}=n\cdot2^{n-1}

。

(3)

(A)

z=\dfrac{\beta}{\alpha}

と置くと

3z^{2}-6z+4=0

、

z=1\pm\dfrac{i}{\sqrt{3}}

。

0<\arg z<\pi

より正の符号を選ぶ。絶対値は

\dfrac{2}{\sqrt{3}}

、偏角は

\dfrac{\pi}{6}

である。

\mathrm{O}

、

\mathrm{A}

、

\mathrm{B}

を

\alpha

で割る相似変換により

\mathrm{O}=(0,\,0)

、

\mathrm{A}=(1,\,0)

、

\mathrm{B}=\left(1,\,\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)

となるので、

\mathrm{A}

で直角。

\angle\mathrm{AOB}=\dfrac{\pi}{6}

、

\angle\mathrm{OBA}=\dfrac{\pi}{3}

、辺の比は

\mathrm{OA}:\mathrm{AB}:\mathrm{OB}=\sqrt{3}:1:2

。

(B)

密度の積分

1=\displaystyle\int_{0}^{1}kx(x-1)\,dx=-\dfrac{k}{6}

より

k=-6

。非負性も満たす。

F(a)=\displaystyle\int_{0}^{a}6x(1-x)\,dx=3a^{2}-2a^{3}

。
条件

F=\dfrac{7}{20}(1-F)

より

F=\dfrac{7}{27}

。

F'(a)=6a(1-a)>0

（

0<a<1

）だから解は高々 1 つ。

a=\dfrac{1}{3}

で

F=\dfrac{7}{27}

となるので唯一解。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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