1大阪医科薬科大学 2023年 数学 第1問解答・解説

法線は接線方向に垂直な方向ベクトルで表し、二法線の交点をa,bで表して極限をとった。得られた媒介変数表示を弧長公式に代入し、被積分関数の偶奇性を利用して積分した。

(1)

放物線 $y=x^2$ の点 $A(a,a^2)$ における接線の方向ベクトルは $(1,2a)$ である。これに垂直な方向ベクトルとして $(-2a,1)$ をとれるので、法線は
$$(x,y)=(a,a^2)+t(-2a,1)$$
と表せる。$t=y-a^2$ を代入して
$$x+2ay=a+2a^3.$$
この式は $a=0$ のときも $x=0$ となり、原点での法線を表す。

(2)

$a\ne b$ のとき、A、Bにおける法線は
$$x+2ay=a+2a^3,\qquad x+2by=b+2b^3.$$
これらを引くと
$$2(a-b)y=(a-b)+2(a^3-b^3) =(a-b)\{1+2(a^2+ab+b^2)\}.$$
$a\ne b$ より $y=\dfrac12+a^2+ab+b^2$。これを法線の式に代入すると
$$x=a+2a^3-2a\left(\dfrac12+a^2+ab+b^2\right)=-2ab(a+b).$$
したがって
$$P=\left(-2ab(a+b),\dfrac12+a^2+ab+b^2\right).$$
$b\to a$ とすると
$$Q=\left(-4a^3,\,3a^2+\dfrac12\right).$$

(3)

$Q$ を媒介変数 $a$ で表すと $x=-4a^3$、$y=3a^2+\dfrac{1}{2}$ である。よって
$$\dfrac{dx}{da}=-12a^2,\qquad \dfrac{dy}{da}=6a.$$
$-1\leqq a\leqq1$ における曲線の長さは
$$\begin{aligned} L&=\displaystyle\int_{-1}^{1}\sqrt{\left(\dfrac{dx}{da}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{da}\right)^2}\,da =6\displaystyle\int_{-1}^{1}|a|\sqrt{4a^2+1}\,da\\ &=12\displaystyle\int_0^1a\sqrt{4a^2+1}\,da =\left[(4a^2+1)^{3/2}\right]_0^1 =5\sqrt5-1. \end{aligned}$$$$L={\int }_{-1}^1\sqrt{{\left(\frac{dx}{da}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{da}\right)}^2}da=6{\int }_{-1}^1|a|\sqrt{4a^2+1}da$$$$=12{\int }_0^{1}a\sqrt{4a^2+1}da={\left[(4a^2+1{)}^{3/2}\right]}_0^1=5\sqrt{5}-1.$$
したがって求める長さは $5\sqrt5-1$ である。