9長崎大学 2025年 数学 第9問解答・解説

原点を $O$ とする $xy$ 座標平面上の2点 $A(0,2),B(1,0)$ を通る直線を $l_1$ とし、$x$ 座標が $t\;(0\leqq t\leqq1)$ である線分 $AB$ 上の点を $P$ とする。$P$ から $x$ 軸、$y$ 軸に下ろした垂線と、$x$ 軸、$y$ 軸との交点をそれぞれ点 $Q$、点 $R$ とし、$Q,R$ を通る直線を $l_2$ とする。$P$ が線分 $AB$ 上を $A$ から $B$ まで動くとき、線分 $QR$ が通過してできる図形の周および内部からなる領域を $F$ とする。ただし、$P$ が $A$ と一致するときは、$Q$ は $O$ とし、$R$ は $A$ とする。$P$ が $B$ と一致するときは、$Q$ は $B$ とし、$R$ は $O$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) $\triangle AOB$ の周および内部からなる領域を不等式で表せ。ただし、答えのみでよい。

(2) 直線 $l_2$ の方程式を $t$ の2次方程式 $2t^{2}+at+b=0$ の形で表すとする。$a,b$ をそれぞれ $x$ と $y$ の式で表せ。

(3) 点 $\left(\frac14,\frac12\right)$ は領域 $F$ に含まれるかどうかを調べよ。

(4) 領域 $F$ を $x$ と $y$ の不等式で表せ。

(5) 解答用紙の $xy$ 座標平面上に領域 $F$ を図示せよ。また、領域 $F$ が表す図形の面積 $S$ を求めよ。