5長崎大学 2025年 数学 第5問解答・解説

以下はそれぞれ個別の問題である。各問いに答えよ。

(1) 原点を $\mathrm{O}$ とする複素数平面上に、原点 $\mathrm{O}$ と異なる 2 点 $\mathrm{A}(\alpha),\,\mathrm{B}(\beta)$ があり、$4\alpha^{2}-6\alpha\beta+3\beta^{2}=0$ が成り立つ。このとき、$\dfrac{\beta}{\alpha}$ の値を求めよ。また、$\dfrac{\beta}{\alpha}$ を極形式で表せ。ただし、$0<\arg\dfrac{\beta}{\alpha}<\pi$ とする。

(2) 数列 $\{a_{n}\}$ が、$a_{1}=1,\ a_{2}=4,\ a_{n+2}-4a_{n+1}+4a_{n}=0\ (n\geqq1)$ で定義されている。$b_{n}=a_{n+1}-2a_{n},\ c_{n}=\dfrac{a_{n}}{2^{n}}$ とおくとき、$b_{n},\,c_{n}$ をそれぞれ $n$ の式で表し、一般項 $a_{n}$ を求めよ。

(3) 部分積分法を用いて定積分 $\displaystyle\int_{0}^{1}\log(x^{2}+1)\,dx$ を求めよ。ただし、対数は自然対数とする。