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長崎大学／2025年度／前期

4長崎大学 2025年 数学 第4問解答・解説

二次関数三角関数平面上の曲線と複素数平面統計的な推測

難易度必答 レベル 3/10 目安 20分編集部の評価

対象教育・薬・歯・工など医学科は解かない

1問題

長崎大学2025年度第4問
以下はそれぞれ個別の問題である。各問いに答えよ。

(1) 2 次関数 y=ax2−2ax+b (−1≦x≦2)y=ax^{2}-2ax+b\ (-1\leqq x\leqq2) の最大値が 4 で、最小値が −2-2 であるとき、定数 a, ba,\,b の値を求めよ。

(2) 0<y<x<π0<y<x<\pi のとき、以下の連立方程式の解 (x, y)(x,\,y) を求めよ。
{sin⁡x+cos⁡y=14cos⁡2x−sin⁡2y=94 \begin{cases}\sin x+\cos y=1\\ 4\cos^{2}x-\sin^{2}y=\dfrac{9}{4}\end{cases}

（注）(3) は選択問題である。(A)、(B) いずれか 1 問を解答すること。

(3) (A) 円 C:x2+y2=1C:x^{2}+y^{2}=1 がある。この円 CC を、yy 軸をもとにして xx 軸方向に 3 倍、xx 軸をもとにして yy 軸方向に 2 倍した、だ円 DD の方程式を求めよ。

また、だ円 DD と yy 軸との 2 つの交点を A, B\mathrm{A},\,\mathrm{B} とする。ただし、A\mathrm{A} の yy 座標は正である。点 P(x, y)\mathrm{P}(x,\,y) が、だ円 DD 上を動くとき、A\mathrm{A} と P\mathrm{P} との距離 AP\mathrm{AP} の最大値と、そのときの P\mathrm{P} の座標を求めよ。

(B) 0≦x≦10\leqq x\leqq1 に値をとる確率変数 XX の確率密度関数が f(x)=kx(x−1)f(x)=kx(x-1) であるとき、定数 kk の値を求めよ。また、XX が α≦x≦β\alpha\leqq x\leqq\beta の範囲の値をとる確率を P(α≦X≦β)P(\alpha\leqq X\leqq\beta) とするとき、0≦a≦10\leqq a\leqq1 における P(0≦X≦a)P(0\leqq X\leqq a) を aa を用いて表し、P(0≦X≦a)=720P(a≦X≦1)P(0\leqq X\leqq a)=\dfrac{7}{20}P(a\leqq X\leqq1) を満たす定数 aa の値を求めよ。

出典：長崎大学 2025年度 前期 数学 第4問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    (a, b)=(32, −12), (−32, 52)(a,\,b)=\left(\dfrac{3}{2},\,-\dfrac{1}{2}\right),\ \left(-\dfrac{3}{2},\,\dfrac{5}{2}\right)
  • (2)
    (x, y)=(56π, π3)(x,\,y)=\left(\dfrac{5}{6}\pi,\,\dfrac{\pi}{3}\right)
  • (3)(A)
    D:x29+y24=1D:\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{4}=1。AP\mathrm{AP} の最大値 955\dfrac{9\sqrt{5}}{5}、P(±95, −85)\mathrm{P}\left(\pm\dfrac{9}{5},\,-\dfrac{8}{5}\right)
  • (3)(B)
    k=−6k=-6、P(0≦X≦a)=3a2−2a3P(0\leqq X\leqq a)=3a^{2}-2a^{3}、a=13a=\dfrac{1}{3}

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

(1) は aa の符号で場合を分ける。(2) は cos⁡y=1−sin⁡x\cos y=1-\sin x で yy を消して sin⁡x\sin x の 2 次方程式にする。(3)(B) は P(a≦X≦1)=1−P(0≦X≦a)P(a\leqq X\leqq1)=1-P(0\leqq X\leqq a) を使うと aa の 3 次方程式になり、a=13a=\dfrac{1}{3} が解であることが見つかる。

解答

(1)

y=a(x−1)2−a+by=a(x-1)^{2}-a+b で、a≠0a\neq0。軸 x=1x=1 は範囲内にあり、x=−1x=-1 のとき y=3a+by=3a+b、x=2x=2 のとき y=by=b で、軸から遠い x=−1x=-1 の値が端点での最大・最小になる。

・a>0a>0 のとき：最小値 −a+b=−2-a+b=-2、最大値 3a+b=43a+b=4。a=32, b=−12a=\dfrac{3}{2},\ b=-\dfrac{1}{2}。

・a<0a<0 のとき：最大値 −a+b=4-a+b=4、最小値 3a+b=−23a+b=-2。a=−32, b=52a=-\dfrac{3}{2},\ b=\dfrac{5}{2}。

(2)

cos⁡y=1−sin⁡x\cos y=1-\sin x より sin⁡2y=1−(1−sin⁡x)2=2sin⁡x−sin⁡2x\sin^{2}y=1-(1-\sin x)^{2}=2\sin x-\sin^{2}x。第 2 式に代入して
4(1−sin⁡2x)−2sin⁡x+sin⁡2x=94⟺12sin⁡2x+8sin⁡x−7=0. 4(1-\sin^{2}x)-2\sin x+\sin^{2}x=\dfrac{9}{4}\quad\Longleftrightarrow\quad 12\sin^{2}x+8\sin x-7=0.
(2sin⁡x−1)(6sin⁡x+7)=0(2\sin x-1)(6\sin x+7)=0 で、sin⁡x=12\sin x=\dfrac{1}{2}。cos⁡y=12\cos y=\dfrac{1}{2} と 0<y<π0<y<\pi から y=π3y=\dfrac{\pi}{3}。x=π6, 56πx=\dfrac{\pi}{6},\,\dfrac{5}{6}\pi のうち y<xy<x を満たすのは x=56πx=\dfrac{5}{6}\pi。よって (x, y)=(56π, π3)(x,\,y)=\left(\dfrac{5}{6}\pi,\,\dfrac{\pi}{3}\right)。

(3)

(A)

D:x29+y24=1D:\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{4}=1、A(0, 2)\mathrm{A}(0,\,2)。P(x, y)\mathrm{P}(x,\,y) は x2=9−94y2 (−2≦y≦2)x^{2}=9-\dfrac{9}{4}y^{2}\ (-2\leqq y\leqq2) を満たすから
AP2=x2+(y−2)2=−54y2−4y+13=−54(y+85)2+815. \mathrm{AP}^{2}=x^{2}+(y-2)^{2}=-\dfrac{5}{4}y^{2}-4y+13=-\dfrac{5}{4}\left(y+\dfrac{8}{5}\right)^{2}+\dfrac{81}{5}.
y=−85y=-\dfrac{8}{5} で最大となり、AP\mathrm{AP} の最大値は 815=955\sqrt{\dfrac{81}{5}}=\dfrac{9\sqrt{5}}{5}。このとき x2=9−94⋅6425=8125x^{2}=9-\dfrac{9}{4}\cdot\dfrac{64}{25}=\dfrac{81}{25} で、P(±95, −85)\mathrm{P}\left(\pm\dfrac{9}{5},\,-\dfrac{8}{5}\right)。

(B)

f(x)≧0 (0≦x≦1)f(x)\geqq0\ (0\leqq x\leqq1) と ∫01kx(x−1) dx=−k6=1\displaystyle\int_{0}^{1}kx(x-1)\,dx=-\dfrac{k}{6}=1 より k=−6k=-6、f(x)=6x(1−x)f(x)=6x(1-x)。
p=P(0≦X≦a)=∫0a(6x−6x2) dx=3a2−2a3. p=P(0\leqq X\leqq a)=\int_{0}^{a}(6x-6x^{2})\,dx=3a^{2}-2a^{3}.
P(a≦X≦1)=1−pP(a\leqq X\leqq1)=1-p だから、条件は p=720(1−p)p=\dfrac{7}{20}(1-p)、すなわち p=727p=\dfrac{7}{27}。
3a2−2a3=727⟺54a3−81a2+7=0⟺(3a−1)(18a2−21a−7)=0. 3a^{2}-2a^{3}=\dfrac{7}{27}\quad\Longleftrightarrow\quad 54a^{3}-81a^{2}+7=0\quad\Longleftrightarrow\quad(3a-1)(18a^{2}-21a-7)=0.
18a2−21a−7=018a^{2}-21a-7=0 の解 a=21±94536a=\dfrac{21\pm\sqrt{945}}{36} は 0≦a≦10\leqq a\leqq1 にない（30<945<3130<\sqrt{945}<31）から、a=13a=\dfrac{1}{3}。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 平方完成
  • 三角関数の相互関係
  • 楕円の方程式
  • 確率密度関数
  • 因数定理

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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