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山形大学／2023年度

3山形大学 2023年 数学 第3問解答・解説

二次関数いろいろな式三角関数平面上の曲線と複素数平面

1問題

山形大学2023年度第3問
複素数平面上で、点 α\alpha が原点を中心とする半径1の円上を動く。α\alpha の偏角を θ\theta とし、β=−αˉ\beta = -\bar{\alpha} とおくとき、次の問いに答えよ。ただし、複素数 zz に対して、共役な複素数を zˉ\bar{z} で表し、ii を虚数単位とする。

(1) α+β2i\frac{\alpha+\beta}{2i} を θ の式で表せ。

(2) αβ‾\alpha\overline{\beta} の偏角を θ\theta の式で表せ。

(3) t=12{(α−i)(β−i‾)+(α−i‾)(β−i)}t = \frac{1}{2} \left\{ (\alpha - i)(\overline{\beta - i}) + (\overline{\alpha - i})(\beta - i) \right\} とおく。t は実数であることを示し、t の最大値と最小値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    sin⁡θ\sin\theta
  • (2)
    arg⁡(αβ‾)≡2θ+π(mod2π)\arg(\alpha\overline{\beta})\equiv2\theta+\pi\pmod{2\pi}
  • (3)
    tt は実数で、最大値は 44、最小値は −12-\dfrac{1}{2}。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

単位円上の複素数を三角形式にし、共役・積の計算と二次関数の最大最小に帰着する。

解答

∣α∣=1|\alpha|=1 より α=cos⁡θ+isin⁡θ\alpha=\cos\theta+i\sin\theta と書ける。このとき β=−α‾=−cos⁡θ+isin⁡θ\beta=-\overline{\alpha}=-\cos\theta+i\sin\theta である。

(1)
α+β2i=2isin⁡θ2i=sin⁡θ. \dfrac{\alpha+\beta}{2i}=\dfrac{2i\sin\theta}{2i}=\sin\theta.

(2)
β=−α‾\beta=-\overline{\alpha} より β‾=−α\overline{\beta}=-\alpha なので αβ‾=−α2\alpha\overline{\beta}=-\alpha^{2}。α=eiθ\alpha=e^{i\theta} と表せば αβ‾=ei(2θ+π)\alpha\overline{\beta}=e^{i(2\theta+\pi)} であるから、
arg⁡(αβ‾)≡2θ+π(mod2π). \arg(\alpha\overline{\beta})\equiv 2\theta+\pi\pmod{2\pi}.

(3)
z=α−iz=\alpha-i、w=β−iw=\beta-i とおくと
t=zw‾+z‾ w2. t=\dfrac{z\overline{w}+\overline{z}\,w}{2}.
これは zw‾z\overline{w} の実部に等しいので、tt は実数である。また w‾=β‾+i=−α+i=−z\overline{w}=\overline{\beta}+i=-\alpha+i=-z より
t={−(α−i)2} の実部=1−cos⁡2θ−2sin⁡θ=2sin⁡2θ−2sin⁡θ. t=\left\{-(\alpha-i)^{2}\right\}\text{ の実部}=1-\cos2\theta-2\sin\theta=2\sin^{2}\theta-2\sin\theta.
u=sin⁡θu=\sin\theta とおけば −1≦u≦1-1\leqq u\leqq1 であり、
t=2(u−12)2−12. t=2\left(u-\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\dfrac{1}{2}.
よって最小値は u=12u=\dfrac{1}{2} のとき −12-\dfrac{1}{2} である。上に開く二次関数なので、最大値は区間の端点でとり、t(−1)=4t(-1)=4、t(1)=0t(1)=0 より最大値は 44 である。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 複素数平面
  • 複素数の極形式
  • ド・モアブルの定理
  • 複素数の四則演算
  • 三角関数の相互関係
  • 二次関数の最大・最小

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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