4鹿児島大学 2025年 数学 第4問解答・解説

(1)

$x^{2}+1>0$ なので $\beta\ne0$ である。共役複素数を用いて
$$\dfrac{\alpha}{\beta}=\dfrac{(4+3i)(x-i)}{x^{2}+1}=\dfrac{(4x+3)+(3x-4)i}{x^{2}+1}.$$
この商が実数となる条件は $3x-4=0$ だから $x=\dfrac{4}{3}$ である。

(2)

複素平面上で $\mathrm{A}(4,\,3)$、$\mathrm{B}(x,\,1)$、$\mathrm{C}(0,\,8)$ であるから、
$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(x-4,\,-2),\qquad \overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-4,\,5).$$
両ベクトルは零ではない。直線 $\mathrm{AB}$ と $\mathrm{AC}$ が垂直となる条件は内積が 0 であることより、
$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=-4(x-4)-10=6-4x=0.$$
よって $x=\dfrac{3}{2}$ である。

(3)

虚部を $g(x)$ とおくと、
$$g(x)=\dfrac{3x-4}{x^{2}+1}.$$
分母は常に正であり、
$$\dfrac{1}{2}-g(x)=\dfrac{(x-3)^{2}}{2(x^{2}+1)}\geqq0,\qquad g(x)+\dfrac{9}{2}=\dfrac{(3x+1)^{2}}{2(x^{2}+1)}\geqq0.$$
第 1 式は $x=3$ で等号、第 2 式は $x=-\dfrac{1}{3}$ で等号となる。したがって最大値は $\dfrac{1}{2}$、最小値は $-\dfrac{9}{2}$ である。