2徳島大学 2026年 数学 第2問解答・解説

(1) $\cos5\theta=0$ となるのは $5\theta=\frac\pi2+k\pi$（$k$ は整数）のときである。$0\leqq5\theta\leqq5\pi$ より $k=0,1,2,3,4$ だから
$$\theta=\frac{(2k+1)\pi}{10}\quad(k=0,1,2,3,4),$$
すなわち $\theta=\frac\pi{10},\frac{3\pi}{10},\frac\pi2,\frac{7\pi}{10},\frac{9\pi}{10}$。

(2) $c=\cos\theta$ とおく。加法定理から
$$\cos((n+1)\theta)+\cos((n-1)\theta)=2\cos\theta\cos n\theta\quad(n\geqq1)$$
となる。これを順に用いると
$$\begin{aligned} \cos2\theta&=2c^2-1,\\ \cos3\theta&=2c(2c^2-1)-c=4c^3-3c,\\ \cos4\theta&=2c(4c^3-3c)-(2c^2-1)=8c^4-8c^2+1,\\ \cos5\theta&=2c(8c^4-8c^2+1)-(4c^3-3c)=16c^5-20c^3+5c. \end{aligned}$$$$\cos 2\theta =2c^2-1,$$$$\cos 3\theta =2c(2c^2-1)-c=4c^3-3c,$$$$\cos 4\theta =2c(4c^3-3c)-(2c^2-1)=8c^4-8c^2+1,$$$$\cos 5\theta =2c(8c^4-8c^2+1)-(4c^3-3c)=16c^5-20c^3+5c.$$
よって
$$\cos5\theta=16\cos^5\theta-20\cos^3\theta+5\cos\theta.$$

(3) $\theta=\frac\pi{10}$ とすると(1)より $\cos5\theta=0$ である。(2)に $x=\cos\theta$ を代入して
$$x(16x^4-20x^2+5)=0.$$
$\cos\frac\pi{10}>0$ なので $y=x^2$ とおけば $16y^2-20y+5=0$。したがって
$$y=\frac{20\pm\sqrt{400-320}}{32}=\frac{5\pm\sqrt5}{8}.$$
ここで $0<\frac\pi{10}<\frac\pi4$ より $\cos^2\frac\pi{10}>\cos^2\frac\pi4=\frac12$。二つの根のうち $\frac{5+\sqrt5}{8}>\frac12$ だから
$$\cos^2\frac\pi{10}=\frac{5+\sqrt5}{8}.$$

(4)
$$\cos\left(\pi-\frac{3\pi}{10}\right)=-\cos\frac{3\pi}{10},\qquad \cos\left(\pi-\frac\pi{10}\right)=-\cos\frac\pi{10}$$
より，求める積は $\cos^2\frac\pi{10}\cos^2\frac{3\pi}{10}$ である。
$$\frac\pi4<\frac{3\pi}{10}<\frac\pi2$$
より $0<\cos^2\frac{3\pi}{10}<\frac12$ だから，(3)で得た二根のうち小さい方をとり
$$\cos^2\frac{3\pi}{10}=\frac{5-\sqrt5}{8}.$$
したがって
$$\cos^2\frac\pi{10}\cos^2\frac{3\pi}{10} =\frac{5+\sqrt5}{8}\cdot\frac{5-\sqrt5}{8} =\frac{20}{64}=\frac{5}{16}.$$