4滋賀医科大学 2025年 数学 第4問解答・解説

(1)

$h(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}$（$a_{k}$ は実数）と書く。$h(\alpha)=0$ ならば、実数 $a_{k}$ は共役をとっても変わらないので、
$$h(\overline{\alpha})=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}\overline{\alpha}^{\,k}=\overline{\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}\alpha^{k}}=\overline{h(\alpha)}=0.$$
よって $\overline{\alpha}$ も解である。

(2)

平方の差を用いると、
$$f(x)=(x^{2}+1)^{2}-x^{2}=(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1),$$
$$g(x)=(x^{2}+1)^{2}-3x^{2}=(x^{2}+\sqrt{3}\,x+1)(x^{2}-\sqrt{3}\,x+1)$$
である。各二次方程式を解いて、
$$f(x)=0\colon\quad x=\dfrac{1+\sqrt{3}\,i}{2},\ \dfrac{1-\sqrt{3}\,i}{2},\ \dfrac{-1+\sqrt{3}\,i}{2},\ \dfrac{-1-\sqrt{3}\,i}{2},$$
$$g(x)=0\colon\quad x=\dfrac{\sqrt{3}+i}{2},\ \dfrac{\sqrt{3}-i}{2},\ \dfrac{-\sqrt{3}+i}{2},\ \dfrac{-\sqrt{3}-i}{2}.$$
したがって、複素数平面上の点（実部、虚部）は、$f(x)=0$ について $\left(\dfrac{1}{2},\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$、$\left(\dfrac{1}{2},\,-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$、$\left(-\dfrac{1}{2},\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$、$\left(-\dfrac{1}{2},\,-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$。$g(x)=0$ について $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\,\dfrac{1}{2}\right)$、$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\,-\dfrac{1}{2}\right)$、$\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\,\dfrac{1}{2}\right)$、$\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\,-\dfrac{1}{2}\right)$ である。これらの 8 点はいずれも原点中心の単位円上にあり、$f(x)=0$ の解と $g(x)=0$ の解は、単位円上で互いに異なる位置にある。

(3)

(2) の恒等式から、
$$f(x)=(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1),\qquad g(x)=(x^{2}+\sqrt{3}\,x+1)(x^{2}-\sqrt{3}\,x+1).$$
各因子は実係数の二次多項式なので条件を満たす。

(4)

実数 $t$ に対して
$$g(t)=\left(t^{2}-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{3}{4}>0$$
であり、$g$ は実数解をもたない。したがって一次の整多項式因子はない。もし指定された範囲の整多項式の積に表せるなら、次数の和が 4 であることから二次式二つの積となる。最高次の係数の積が 1 なので、必要なら両因子の符号を変えて
$$g(x)=(x^{2}+px+q)(x^{2}+rx+s)\qquad(p,\,q,\,r,\,s\text{ は整数})$$
と書ける。$x^{3}$ と定数項の係数を比較すると $r=-p$、$qs=1$ である。ゆえに $q=s=1$ または $q=s=-1$ となる。$x^{2}$ の係数を比較すると
$$q+s+pr=2q-p^{2}=-1,\qquad p^{2}=2q+1.$$
$q=1$ では $p^{2}=3$、$q=-1$ では $p^{2}=-1$ となり、いずれも整数 $p$ に不可能である。よって $g(x)$ は指定された整多項式の積に表せない。